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Eine Bemerkung zur Gitterpunktlehre. (German) JFM 66.0174.01
Es sei \(r\geqq 4\) ganz; \(S_r\) sei die Menge aller Punkte \(a=(a^{(1)},\ldots,a^{(r)})\) mit \(a^{(1)}> 0\), …, \(a^{(r)} > 0\). Für \(a\in S_r\), \(x > 0\) sei \(V_a(x)\) das Volumen des \(r\)-dimensionalen Ellipsoids \(a^{(1)}u_1^2+\cdots+a^{(r)}u_r^2\leqq x\), \(A_a(x)\) die Anzahl der in diesem Ellipsoid liegenden Gitterpunkte \((u_1,\ldots,u_r)\) \[ P_a(x)=A_a(x)-V_a(x), \quad M_a(x)=\int\limits_0^xP_a^2(y)\,dy. \]
Es gilt (s. Jarník, Math. Z. 33 (1931), 62-84; JFM 57.0215.*) \[ \liminf_{x=\infty}\frac{M_a(x)}{x^{\frac 12r+\frac 12}}>0, \quad \limsup_{x=\infty}\frac{M_a(x)}{x^{r-1}}< \infty \] und für \(r>4\) auch (s. Jarník, Bull. intern. Acad. Sci. Bohême 1928, 1-10; Math. Ann., Berlin, 101 (1929), 136-146; Math. Z. 32 (1930), 152-160; JFM 55.0110.*; 56\(_{\text{I}}\), 176) \[ \limsup_{x=\infty}\frac{|P_a(x)|}{x^{\frac 12r-1}}<\infty. \]
Hier beweist Verf., daß es \(a\) gibt, für welche \(P_a(x)\), \(M_a(x)\) die nach vorstehenden Ungleichungen größtmöglichen Schwankungen “fast” erreichen:
Satz: Es sei \(r\geqq 4\) ganz, \(f(x)\to \infty\) für \(x\to \infty\). Dann gibt es in \(S_r\) eine Menge \(B\) mit folgenden Eigenschaften: E 1) Die Menge \(S_r-B\) ist von erster Kategorie (in \(S_r\)), also ist \(B\) nicht leer. E 2) Für \(a\in B\) gilt: \[ \limsup_{x=\infty}\frac{M_a(x)}{x^{r-1}}f(x)=\infty, \quad \liminf_{x=\infty}\frac{M_a(x)}{x^{\frac 12r+\frac 12}(\log x)^{3r+3}f(x)}=0 \] und für \(r>4\) auch \[ \limsup_{x=\infty}\frac{P_a(x)}{x^{\frac 12r-1}}f(x)=+\infty, \quad \liminf_{x=\infty} \frac{P_a(x)}{x^{\frac 12r-1}}f(x)=-\infty. \]