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Über die notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz eines unendlichen Ausdrucks. (Polish) JFM 57.1378.07
Es seien zwei Zahlenfolgen: \(\{a_n\}\) und \(\{x_n\}\) gegeben, wo \(a_n > 0\) und \(x_n\) reell ist für \(n = 1,\, 2,\,\ldots\) Verf. beweist folgendes: Setzt man \(u_n = f_n(a_1, \ldots, a_n, x_1,\ldots, x_n)\), wo \(f_1(a_1,x_1) =a_1^{x_1}\), \(f_n(a_1,\ldots, a_n, x_1,\ldots, x_n) = f_{n-1} (a_1,\ldots,a_{n-2}, a_{n-1} + a_n^{x_n}, x_1,\ldots x_{n-1})\) ist, so ist die Folge \(\{u_n\}\) dann und nur dann konvergent, wenn die Folge \[ v_n = x_1\cdot x_2 \cdots x_n \cdot \log a_n\qquad (n =1,\,2,\,\ldots) \] nach oben beschränkt ist. Es folgt insbesondere daraus, daß die Folge \[ u_n= \root p\of{a_1+\root p\of{a_2+\cdots+\root p\of{a_n}}}, \qquad n= 1,\,2,\,\ldots;\;p >1, \] dann und nur dann konvergiert, wenn die Folge \(\{p^{-n} \cdot \log a_n\}\) nach oben beschränkt ist. Diese letzte Folgerung wird in der zweiten Arbeit für sich allein bewiesen.

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