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Sur une propriété curieuse d’une classe de surfaces algébriques. (French) JFM 33.0358.02

Bei seinen Untersuchungen über die Integrale totaler Differentiale, die zu algebraischen Flächen gehören, hat Picard bis jetzt noch nicht entscheiden können, ob nicht etwa jedes Integral dieser Art eine algebraisch-logarithmische Kombination ist, das heißt sich in der Form : \[ \sum A_k \log R_k (x, y, z) + P (x, y, z) \] darstellen läßt, wo \(P\) und die \(R_k\) rationale Funktionen von \(x, y\) und \(z\) sind, während die \(A_k\) Konstanten bedeuten. Ohne eine Entscheidung treffen zu wollen, beweist Picard eine merkwürdige Eigenschaft der Flächen, bei denen alle Integrale totaler Differentiale sich auf eine algebraisch-logarithmische Kombination reduzieren. Auf jeder algebraischen Fläche mit gewöhnlichen Singularitäten kann man \(\varrho\) besondere algebraische irreduzible Kurven ziehen, sodaßes kein Integral eines Differentials dritter Gattung gibt, das als logarithmische Kurven nur diese Kurven oder einen Teil davon hätte, während es andererseits ein Integral gibt, das als logarithmische Kurve eine beliebige \((\varrho + 1)\)-te Kurve und die Gesamtheit oder einen Teil der \(\varrho\) Kurven hat (vergl. F. d. M. 32, 419, 1901, JFM 32.0419.01). Die Zahl \(\varrho\) hat für alle sich birational entsprechenden Flächen ohne Ausnahmekurven denselben Wert. Nimmt man jetzt auf der Fläche \(\varrho + 1\) algebraische irreduzible Kurven willkürlich an, so gibt es stets eine rationale Funktion, die auf diesen Kurven mit gewisser Vielfachheit entweder Null oder unendlich wird und keine andere Linie von Null- und Unendlichkeitsstellen besitzt.
Zum Schlußwerden große Klassen algebraischer Flächen angegeben, bei denen die Integrale totaler Differentiale sich sämtlich auf algebraisch-logarithmische Kombinationen reduzieren.

Citations:

JFM 32.0419.01
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