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Une caractérisation des formes exactes de degré 1 sur les espaces projectifs. (A characterization of exact forms of degree 1 on projective spaces). (French) Zbl 0577.53038

On rappelle que les espaces symétriques compacts sont constitués des espaces projectifs réels, complexes, quaternioniens, du plan projectif des octaves de Cayley et des sphères Euclidiennes. Munis de leur métrique canonique ces espaces ont toutes leurs géodésiques fermées et de même longueur. Les auteurs généralisent à tous les espaces projectifs le théorème suivant déjà connu dans le cas du projectif réel: Une forme différentielle de degré 1 dont l’intégrale sur toutes les géodésiques est nulle est nécessairement exacte.
Pour les sphères une telle forme différentielle est donc la somme d’une forme exacte et d’une forme impaire par l’application antipodale. Les auteurs réduisent d’abord la démonstration au cas du projectif complexe; ils utilisent ensuite une méthode de représentation du groupe unitaire mise au point dans un de leurs articles précédents pour prouver l’exactitude d’un complexe d’opérateurs différentiels homogènes sur l’espace projectif complexe, exactitude, à laquelle a été ramené le théorème.
Reviewer: R.Michel

MSC:

53C35 Differential geometry of symmetric spaces
58J10 Differential complexes
22E46 Semisimple Lie groups and their representations
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Full Text: DOI EuDML