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On transcendental \(p\)-adic numbers. (Über transzendente \(p\)-adische Zahlen.) (German) Zbl 0012.05302
Verf. überträgt den Gelfondschen Beweis für die Transzendenz des Logarithmenquotienten \(\theta= \frac{\log \alpha}{\log \beta}\) für algebraische \(\alpha\) und \(\beta\) \((\neq 0\) und \(\neq 1)\) und irrationales \(\theta\) [A. O. Gel’fond, C. R. Acad. Sci. URSS 2, 1–6 (1934; Zbl 0009.05302, JFM 60.0163.04)] ins \(P\)-adische und zeigt:
Ist \(p\) eine natürliche Primzahl, sind \(\alpha\) und \(\beta\) algebraische \(p\)-adische Zahlen \(\neq 0\) und \(\neq 1\) mit
\[ 0<|\alpha-1|_p\leq \frac 1p;\quad 0<|\beta-1|_p\leq \frac 1p, \]
und ist \(\theta= \frac{\log \alpha}{\log \beta}\) eine irrationale \(p\)-adische Zahl, so ist \(\theta\) transzendent.
Der Beweis zerfällt in 3 Teile.
I. Mit elementaren Mitteln (Resultantenbildung) wird eine positive untere Schranke für den Absolutwert eines beliebigen nichtverschwindenden Polynoms in gegebenen \(t\) algebraischen \(p\)-adischen Zahlen \(\alpha_1, \dots,\alpha_t\) mit ganzen rationalen Koeffizienten hergeleitet. Diese Schranke ist gleich
\[ \{ c^{N_1+N_2+\dots+N_t+ A^n}\}^{-1}, \] wo \(n\) den Grad des durch die Zahlen \(\alpha_1, \dots,\alpha_t\) erzeugten Zahlkörpers, \(A\) die Höhe des Polynoms, \(N_\tau\) den Grad des Polynoms in \(\alpha_\tau\) \((1\leq \tau\leq t)\) und \(c\) eine nur von \(\alpha_1, \dots,\alpha_t\) abhängige Zahl \(>0\) bedeutet.
II. Beim Gelfondschen Beweis spielt der Cauchysche Integralsatz eine wichtige Rolle um zum Beweis benötigte Ungleichungen für die Absolutbetrage der Ableitungen analytischer Funktionen mit vielen Nullstellen herzuleiten. In der \(p\)-adischen Funktionentheorie gibt es für diesen Cauchyschen Satz kein Analogon. Verf kann jedoch diese Schwierigkeit beseitigen und die erwünschten Abschätzungen im \(p\)-adischen Fall gewinnen, indem er die Rechnungen unmittelbar von der Theorie der Potenzreihen aus vornimmt; dieser Weg ist im \(p\)-adischen leichter als im reellen auf Grund der nicht-Archimedischen Bewertung.
III. Mit Hilfe der Ergebnisse in I und II wird dann der Beweis ähnlich wie bei Gelfond erbracht. Verf. bemerkt, daß sich auch der Schneidersche Beweis des im Anfang zitierten Satzes [Th. Schneider, J. Reine Angew. Math. 172, 65–69 (1934; Zbl 0010.10501, JFM 60.0163.03)] ins \(p\)-adische übertragen läßt.
Vgl. auch das Referat im JFM 61.0187.01.

MSC:
11J81 Transcendence (general theory)
11J61 Approximation in non-Archimedean valuations
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Full Text: Numdam EuDML