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Dualité métrique dans la géométrie à deux dimensions de Finsler, en particulier, sur une surface arbitraire. (French) JFM 61.0810.03
In einer zweidimensionalen Punktmannigfaltigkeit mit den Koordinaten \((x, y)\) werde der Abstand zweier Linienelemente \((x, y, p)\), \((x + dx, y + dy, p + dp)\) in vereinigter Lage (\(dy-pdx = 0\)) durch \[ ds=A (x, y, p) dx + B (x, y, p) dp \tag{"}\indent(1)" \] definiert, wo \(A\), \(B\) beliebig gegebene Funktionen ihrer Argumente sind. Durch (1) sind zwei zweiparametrige Scharen von Elementvereinen mitbestimmt: die Nullvereine \((ds = 0)\) und die geodätischen Vereine (\(\delta \int Adx + Bdp = 0\)). Der Abstand zweier unendlich benachbarter (u. b.) Nullvereine wird als Abstand ihrer Linienelemente, die in vereinigter Lage sind, definiert. Die Nullvereine lassen sich durch Berührungstransformation in die Punkte (betrachtet als Elementvereine) transformieren. Dann ist \(B=0\) und die Maßbestimmung (1) wird eine Finslersche. (Vgl. É. Cartan, Mathematica, Cluj 4, 114–136 (1930; JFM 56.1193.02)]. Der Winkel zweier u. b. Elementvereine kann jetzt als Landsbergscher Winkel [G. Landsberg, Math. Ann. 65, 313–349 (1908; JFM 39.0439.01)] ihrer Linienelemente im Schnittpunkt definiert werden. Hieraus folgt durch Berührungstransformation unmittelbar der entsprechende Winkelbegriff bei der ursprünglichen Metrik (1).
Verf. betrachtet nun zwei Maßbestimmungen \[ ds_1 = A_1dx+B_1dp,\quad ds_2 = A_2 dx + B_2dp \tag{"}\indent(2)" \] mit verschiedenen Scharen von Nullvereinen (\(A_1B_2-A_2B_1 \neq 0\)). Zwei u. b. Nullvereine \(C_1\), \(C'{}_1\) der ersten Metrik haben in dieser einen Abstand \(ds_1\), in der zweiten Metrik einen Winkel \(d\vartheta_2\). Dann definiert Verf. \[ K_1=\left(\frac{d\vartheta_2}{ds_1}\right)^2 \tag{"}\indent(3)" \] als Krümmung der ersten Maßbestimmung in bezug auf die zweite im Linienelement \((x, y, p)\), das die Grenzlage der Linienelemente in vereinigter Lage auf \(C_1\) und \(C_1'\) ist. Die erste Metrik heißt metrisch konjugiert zur zweiten, wenn (3) für jeden Nullverein \(C_1\) einen festen Wert behält, unabhängig von der Wahl des u. b. Nullvereins \(C'{}_1\); sie heißt geodätisch konjugiert zur zweiten, wenn die Nullvereine der ersten Metrik geodätische Vereine für die zweite sind. Zwei Maßbestimmungen (2) heißen vollständig konjugiert, wenn jede gleichzeitig metrisch und geodätisch konjugiert zur anderen ist. Zu einer gegebenen Maßbestimmung (1) gibt es höchstens eine vollständig konjugierte (abgesehen von einem beliebigen konstanten Faktor).
Ist \(ds_1\) der Abstand der Punkte zweier Linienelemente in vereinigter Lage in einer quadratischen Maßbestimmung \(Q\), \(ds_2\) der Winkel der geodätischen Linien durch diese Linienelemente bei der Maßbestimmung \(Q\), so sind die Maßbestimmungen \(ds_1\) und \(ds_2\) vollständig konjugiert. \(K_1\) wird die Gaußsche Krümmung, während die entsprechende Krümmung \(K_2=\left(\dfrac{d\vartheta_1}{ds_2}\right)^2\) gleich Eins ist.
MSC:
53B40 Local differential geometry of Finsler spaces and generalizations (areal metrics)
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