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Einführung in die Algebra. I, II (mit einem Anhang von W. Krull). (German) JFM 55.0086.01
Mathematik und ihre Anwendungen in Monographien und Lehrbüchern Bd. 5,1, 5,2. Leipzig, Akademische Verlagsgesellschaft. I: xv, 1-367, II: xiii, 368-663 (1929).
Nachdem H. Hasse in seinem Göschenbändchen [Höhere Algebra. Bd. II: Gleichungen höheren Grades. Berlin: Walter de Gruyter (1927; FM 53.0111.02)] zum ersten Male in einem deutschsprachigen Lehrbuch, wenn auch in knapper Form, die Algebra vom Standpunkt der modernen, durch Steinitz inaugurierten Theorie dargestellt hatte, gibt das vorliegende Werk eine solche Darstellung in einem wesentlich breiteren Rahmen. Über die Tendenz des Werkes äußert sich Verf. im Vorwort in folgender Weise:
“Das vorliegende Buch ist als Einführung in die Algebra, zunächst für Studierende, gedacht. Es beschränkt sich daher auf die Elemente, unter Berücksichtigung auch der neueren Algebra. Eben deshalb kommt das Buch vielleicht auch manchen Wünschen der Lehrer an höheren Schulen entgegen; zumal verschiedene Gegenstände, die sich mit dem Lehrstoff der höheren Schulen mehr oder minder eng berühren, ausführlicher als gewöhnlich dargestellt sind [z. B. die Regeln des Buchstabenrechnens (im 1. Kap.); die Einführung der Brüche (im 2. Kap.); gewisse Teile der elementaren Zahlentheorie: so die Lehre von der Teilbarkeit der ganzen Zahlen (im 4. Kap.) und von den Kongruenzen (vgl. 1., 5. und 15. Kap.)]. Übrigens soll das Buch gleichzeitig auf das selbständige Studium der höheren Algebra und der höheren Zahlentheorie vorbereiten. Einige Beispiele neuester Untersuchungen finden sich im letzten (23.) Kapitel. Auch sonst hoffe ich einiges Neue zu bieten.”
“Damit das Buch zum Selbststudium brauchbar sei, wurde einerseits der Umfang des behandelten Stoffes zugunsten einer breiteren Darstellung beschränkt (und z. B. auf Eliminationstheorie nicht eingegangen); andererseits wurden die im Verlaufe der Darstellung benötigten Begriffe und Hilfsmittel im Buche selbst ausführlich entwickelt (so z. B. alle benötigten Sätze aus der elementaren Zahlentheorie; die Theorie der linearen Gleichungen; das Wichtigste aus der Theorie der reellen Zahlen). Selbstverständlich wurde, soweit sich Gelegenheit bot und es tunlich schien, auf Fragestellungen aus anderen mathematischen Disziplinen hingewiesen (z. B. aus der Elementargeometrie, Zahlenlehre, Axiomatik usw.). Die Beweise einfacher Sätze werden gelegentlich auch als Aufgaben gestellt, um den Anfänger zu eigener Mitarbeit anzuregen, ohne die mathematische Lektüre nicht gewinnbringend sein kann. Die Lösungen aller dieser Aufgaben finden sich im entsprechenden Bande je in einem Anhang. Die wichtigsten Abkürzungen sind auf Seite VIII und IX zusammengestellt.”
“Bei der Lektüre können, je nach Vorbildung und Neigung des Lesers, verschiedene Wege eingeschlagen werden; einige diesbezügliche Hinweise (insbesondere auch für den Anfänger) werden in Anmerkungen am Anfang der einzelnen Kapitel gegeben, sowie in der Einleitung zum 2. Bande.”
Der Inhalt des Werkes ist in sechs Abschnitte gegliedert, von denen drei zum ersten und drei zum zweiten Bande vereinigt sind. Im ersten Abschnitt (Kap. 1–6) werden die Grundbegriffe Körper, Ring, Gruppe entwickelt; die Darstellung geht von bekannten Dingen aus und schreitet von da durch Abstraktion zur axiomatischen Definition dieser Grundbegriffe fort. Dann werden die zahlentheoretischen Hilfsmittel entwickelt; die Behandlung der Restklassenringe und der Erweiterung eines Körpers bilden den Abschluß dieses einleitenden Abschnitts. Der zweite Abschnitt “Transszendente Elemente” (Kap. 7–11) untersucht in der Hauptsache die Teilbarkeitseigenschaften von Polynomen über einem Körper und über einem Integritätsbereich, ferner die symmetrischen Funktionen und die linearen Gleichungen und Determinanten. Der dritte Abschnitt “Nullstellen von Polynomen” (Kap. 12–15) bringt zunächst den Kronecker-Steinitzschen Satz, welcher besagt, daß zu jedem nichtkonstanten Polynom \(f(z)\) über einem Körper \(K\) ein Erweiterungskörper \(K^*\) von \(K\) existiert, in dem \(f(z)\) eine Nullstelle besitzt, sodann die Auflösung durch Wurzelzeichen der Gleichungen 2.–4. Grades sowie der reinen Gleichungen.
Im vierten Abschnitt (Kap. 16) wird die numerische Berechnung der Wurzeln von Gleichungen behandelt, deren Koeffizienten reelle oder komplexe Zahlen sind. Dazu wird zunächst kurz der Aufbau der reellen und komplexen Zahlen gegeben und dann der Gaußsche Fundamentalsatz der Algebra bewiesen; auch die Beziehungen der Algebra zur Geometrie (Konstruierbarkeitsfragen) und zur Analysis werden hier erörtert. Dann werden die bekannten Methoden zur näherungsweisen Berechnung der Wurzeln behandelt. Übrigens wird in dem Schlußkapitel des Werkes (Kap. 23; § 10, 11), hauptsächlich im Anschluß an die Arbeiten von E. Artin und O. Schreier [Abh. Hamb. 5, 85–99 (1926; JFM 52.0120.05), Abh. Hamb. 5, 225–231 (1927; JFM 53.0144.01) eine rein algebraische, weiterreichende Theorie der reellen Körper vorgetragen. Im fünften Abschnitt (Kap. 17–22) wird die Galoissche Theorie, und zwar im Anschluß an Dedekind, entwickelt. Der Gang der Darstellung ist aus den Kapitelüberschriften ersichtlich: 17. Basis und Grad endlicher Erweiterungen. 18. Auflösung von Gleichungen durch Radikale. 19. Normalkörper. 20. Gruppe eines Normalkörpers. 21. Auflösung einer Gleichung gemäß der Galoisschen Theorie mit endlich vielen Schritten. 22. Permutationsgruppe eines Polynoms. Auf S. VI in Bd. 2 gibt Verf. ausführliche Ratschläge für den Gang der Lektüre durch diesen Abschnitt. Der letzte Abschnitt (Kap. 23) bringt einige Ergänzungen zur Körpertheorie, an denen Verf. zeigen will, daß die abstrakte Körpertheorie selbständige Bedeutung besitzt und zu ganz neuen Fragen führt. Neben der bereits erwähnten Theorie der reellen Körper werden hier noch behandelt: Endliche Erweiterungen 1. und 2. Art, Transzendenzgrad einer Erweiterung, Konstruktion algebraisch abgeschlossener Körper. Ferner enthält dieser Abschnitt einen Anhang von W. Krull über die Galoissche Theorie der abzählbar unendlichen Normalkörper, verallgemeinerte Abelsche Gruppen und Elementarteilertheorie der Matrizen. (III 3.)
Besprechung: L. Bieberbach; Jahresbericht D. M. V. 38 (1929), 97–98 kursiv.

MSC:
12-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to field theory
00A05 Mathematics in general