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Über Summen von fünf und sechs Quadraten und konforme Transformationen. Rudolfo Lipschitz in Memoriam. (German) JFM 52.0632.02
Eine im projektiven \(R_5\) gelegene quadratische Mannigfaltigkeit \(M_4^2\) vom Trägheitsindex Eins \[ Z_\alpha^2 - Z_0^2 - Z_1^2 - Z_2^2 - Z_3^2 - Z_\omega^2 = 0 \] läßt sich unter Verwendung der Quaternion \(Z = (Z_0, Z_1, Z_2, Z_3)\) in der Form \[ (Z_\alpha + Z_\omega ):Z = \tilde{Z}:(Z_\alpha - Z_\omega ) \] schreiben und vermöge \[ \dfrac{Z}{Z_\alpha + Z_\omega} = \dfrac{Z_\alpha Z_\omega}{\tilde{Z}} = z \qquad (Z_\alpha + Z_\omega\neq 0) \] stereographisch auf das projektive Kontinuum \(R_4^* (Z_\omega = 0)\) projizieren. Diese Projektion ist eine eineindeutige Punktzuordnung zwischen \(M_4^2\) und \(R_4^*\), solange \(Z_\alpha + Z_\omega\neq 0\); jeder Quaternion \(Z\) entspricht dann eindeutig umkehrbar eine Quaternion \[ z = (z_0,z_1,z_2,z_3). \] Aber auch die singulären Stellen der Abbildung (für welche \(Z_\alpha + Z_\omega = 0\)) gestatten eine eindeutig umkehrbare Zuordnung, wenn nur den entsprechenden Punkten auf \(M_4^2\) die isotropen Elemente von \(R_4^*\) in geeigneter (vom Verf. ausführlich besprochener) Weise zugeordnet werden. Diese so getroffene Erweiterung \(M_4^2\) des elementaren Punktkontinuums \(R_4\) ergibt den Begriff des “Möbiusschen Kontinuums”, dessen “uneigentlicher” Punkt durch das Projektionszentrum (\(1 : 0 : 0 : 0 : 0 : - 1\)) und (bei Berücksichtigung des Imaginären) dessen “akzessorische” Punkte durch die isotropen Elemente gegeben sind.
Aus den automorphen Kollineationen von \(M_4^2\) gehen nunmehr alle konformen Transformationen im Raum \(R_4^*\), in welchen man projiziert hat, hervor. Diese Kollineationen bilden eine fünfzehnparametrige (zweischichtige) Gruppe \(G_{15}(H_{15})\), deren Transformationen bei Gebrauch der Quaternion \(z\) in doppelter Form \[ \dfrac{az+b |}{| cz+d} = z' = \dfrac{| z\alpha + \beta}{z\gamma + \delta |}, \quad \dfrac{l\tilde{z}+m |}{| n\tilde{z}+r} = z' = \dfrac{| \tilde{z}\lambda + \mu}{\tilde{z}\nu + \varrho} \] mit nicht verschwindenden Nablafunktionen \(\left\{\begin{matrix} ab\\ cd\end{matrix}\right\}\), \(\left\{\begin{matrix} \alpha\gamma\\ \beta\delta\end{matrix}\right\}\), \(\left\{\begin{matrix} lm\\ nr\end{matrix}\right\}\), \(\left\{\begin{matrix} \lambda\nu \\ \mu\varrho \end{matrix}\right\}\) erscheinen (über Symbolik und Terminologie findet der Leser Aufschluß in einer früheren Arbeit des Verf. [Math. Z. 18, 55–86, 201–229 (1923; JFM 49.0075.01); Math. Z. 21, 45–71, 174–194 (1924; JFM 51.0588.03)]).
Transformationen, welche die quadratische Form \[ Z_\alpha^2 - Z_0^2 - Z_1^2 - Z_2^2 - Z_3^2 - Z_\omega^2 \] als solche reproduzieren, nennt Verf. pseudorthogonale Transformationen. Sie bilden die fünfzehnparametrige (zweischichtige) Gruppe \(\mathfrak{G}_{15}(\mathfrak{H}_{15})\), welche geometrisch die Gesamtheit der automorphen linearen Transformationen der pseudosphärischen \(M_5^2\) \[ Z_\alpha^2 - Z_0^2 - Z_1^2 - Z_2^2 - Z_3^2 - Z_\omega^2 = 1 \] umfaßt und auf \(M_5^2\) eine pseudosphärische Geometrie induziert, welche jedoch erst durch Identifizieren diametral gelegener Figuren zu einer hyperbolischen gemacht werden kann. Die \(G_{15}(H_{15})\) der automorphen Transformationen von \[ Z_\alpha^2 - Z_0^2 - Z_1^2 - Z_2^2 - Z_3^2 - Z_\omega^2 = 0 \] ist auf \(\mathfrak{G}_{15}(\mathfrak{H}_{15})\) meromorph bezogen; jeder Transformation aus \(G_{15}(H_{15})\) sind zwei Transformationen aus \(\mathfrak{G}_{15}(\mathfrak{H}_{15})\) zugeordnet. Wird das Gebiet \(Z_\alpha\geqq 1\) auf \(M_5^2\) “zugänglich”, das Gebiet \(Z_\alpha\leqq -1\) auf \(M_5^2\) “unzugänglich” genannt, so kann die Eindeutigkeit der Zuordnung \(G_{15}(H_{15}) \to \mathfrak{G}_{15}(\mathfrak{H}_{15})\) durch Beschränkung auf “zugängliche” Transformationen aus \(\mathfrak{G}_{15}\) d. h. auf solche Transformationen, welche das zugängliche Gebiet von \(M_5^2\) in Ruhe lassen, wieder hergestellt werden: Die beiden (geschichteten) Gruppen, die von den reellen Transformationen von \(G_{15}(H_{15})\) und den reellen zugänglichen Transformationen von \(\mathfrak{G}_{15}(\mathfrak{H}_{15})\) gebildet werden, sind zueinander holomorph.
Nach diesen geometrischen Ausführungen entwickelt Verf. in umfassender Weise die analytische Darstellung der Transformationen von \(\mathfrak{G}_{15}(\mathfrak{H}_{15})\). Es ergibt sich: Mit Hilfe von Quaternionenmatrizen lassen sich alle Transformationen der Gruppe \(\mathfrak{G}_{15}\) durch sechzehn homogene Parameter mit bilinearer Zusammensetzung ausdrücken und zwar jede auf zwei wesentlich verschiedene Arten; insbesondere werden auch die reellen Transformationen aus \(\mathfrak{G}_{15}\) durch reelle Quaternionenmatrizen erschöpfend dargestellt.
Von Untergruppen der Gruppe \(\mathfrak{G}_{15}\) betrachtet Verf. zunächst die \(\mathfrak{G}_{10}(\mathfrak{H}_{10})\) aller orthogonalen Transformationen in fünf Veränderlichen, welche bei Invarianz von \(Z_\alpha = 0\) die eigentlichen und uneigentlichen automorphen linearen Transformationen der quinären quadratischen Form \[ Z_0^2 + Z_1^2 + Z_2^2 + Z_3^2 + Z_\omega^2 \] bilden und in der sphärischen \(M_4^2\) \[ Z_0^2 + Z_1^2 + Z_2^2 + Z_3^2 + Z_\omega^2 = 1 \] die Bedeutung von Bewegungen und Umlegungen haben. Sodann wird Invarianz der Gleichung \(Z_\omega = 0\) verlangt. Damit ergeben sich die Bewegungen und Umlegungen einer pseudosphärischen \(M_4^2\) \[ Z_\alpha^2 - Z_0^2 - Z_1^2 - Z_2^2 - Z_3^2 = 1 \] mit vier reellen Schichten \(\mathfrak{G}_{10}'(\mathfrak{H}_{10}')\). Ein äquivalentes Resultat liefert die Invarianzforderung \(Z_0 = 0\), \(\mathfrak{G}_{10}^{''}(\mathfrak{H}_{10}^{''})\). In allen Fällen gibt Verf. eine ausführliche Darstellung der Transformationen der jeweiligen Untergruppen mit Hilfe des Quaternionenkalküls. Da das Rechnen mit zweireihigen Quaternionenmatrizen – wie Verf. betont – nichts anderes ist als ein Rechnen mit Zahlen eines Systems von sechzehn Einheiten, so wird bei einer Änderung der Basis dieses Systems durch irgendeine lineare Transformation der Einheiten jede der abgeleiteten Formeln sich in mancherlei Weise schreiben lassen, wobei dann lediglich die Zeichensprache, nicht der dargestellte Gedanke eine Änderung erfährt. Im Falle \(n = 5\) ist es nun möglich, auf diesem Wege den Zusammenhang mit den Darstellungen der Gruppen \(\mathfrak{G}_{10}\) und \(\mathfrak{G}_{10}^{''}\) zu finden, welche man Lipschitz, Vahlen und Cartan verdankt.
Nach ausführlicher Untersuchung dieser Gesichtspunkte gewinnt schließlich Verf. aus dem Quadratcharakter der Nablafunktion im Falle der betrachteten Untergruppen von \(\mathfrak{G}_{15}\) oder \(G_{15}\) den ergänzenden umfassenderen Lehrsatz:
Läßt eine konforme Transformation der Gruppe \(G_{15}\) eine nichtsinguläre sphärische Mannigfaltigkeit \(M_3^2\) in Ruhe, so werden die beiden zugehörigen Nablafunktionen Quadrate von ganzen rationalen Funktionen zweiten Grades der Parameter \(a_k, b_k, c_k, d_k\) oder \(\alpha_k, \beta_k, \gamma_k, \delta_k\) der Transformation.
MSC:
53-XX Differential geometry
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Full Text: DOI Crelle EuDML