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Modular theory of group-matrices. (English) JFM 38.0180.02

In der von Frobenius begründeten Theorie der Darstellungen einer gegebenen endlichen Gruppe \(\mathfrak H\) durch lineare homogene Substitutionen wird die Annahme gemacht, daß die Koeffizienten der zu betrachtenden Substitutionen beliebige reelle oder komplexe Zahlen sind. Bereits im Jahre 1902 hat Dickson (American M. S. Trans. 3, 285; F. d. M. 33, 150, 1902, JFM 33.0150.01) die Aufgabe in Angriff genommen, die Darstellungen einer Gruppe \(\mathfrak H\) durch lineare homogene Substitutionen unter der allgemeineren Voraussetzung zu studieren, daß als Substitutionskoeffizienten nur Größen eines vorgeschriebenen Rationalitätsbereiches \(F\) zugelassen werden. Für viele Fragen der abstrakten Gruppentheorie sowie auch für die Anwendungen ist es hierbei von Wichtigkeit, insbesondere den Fall zu betrachten, daß \(F\) ein “Kongruenzkörper” ist, d. h. ein Rationalitätsbereich, in dem nach einem Promzahlmodul \(p\) in der Weise gerechnet wird, daß die Summe von \(p\) gleichen Größen von \(F\) stets gleich 0 gesetzt wird. Will man einfachere Resultate erhalten, so muß man noch annehmen, daß jede algebraische Gleichung mit Koeffizienten aus \(F\) in \(F\) reduzibel ist. Das einfachste Beispiel eines Kongruenzkörpers, der diese Eigenschaft besitzt, erhält man, indem man die Gesamtheit \(F_{p}\) der Größen aller Galoisschen Felder \(GF[p^{n}]\) für \(n=1,2,3,\dots\) betrachtet.
In der ersten Arbeit entwickelt der Verf. unter Zugrundelegung des Körpers \(F_{p}\) eine Theorie, die der Frobeniusschen Theorie der Gruppencharaktere völlig analog ist. Der Begriff eines Charakters der Gruppe \(\mathfrak H\) in bezug auf den Körper \(F_{p}\) wird hierbei folgendermaßen erhalten: man betrachte eine Darstellung von \(\mathfrak H\) durch lineare homogene Substitutionen in \(f\) Variabeln mit Koeffizienten aus \(F_{p}\), die im bekannten Sinne in bezug auf \(F_{p}\) irreduzibel ist; entspricht in dieser Darstellung dem Element \(R\) von \(\mathfrak H\) eine Substitution mit der Spur \(\chi(R)\), sowird das System der zu den \(h\) Elementen von \(\mathfrak H\) gehörenden \(h\) Zahlen \(\chi(R)\) als ein Charakter der Gruppe \(\mathfrak H\) bezeichnet. Auf Grund der Methoden, die der Ref. in seiner Arbeit “Neue Begründung der Theorie der Gruppencharaktere” (Berl. Ber. 1905, 406; F. d. M. 36, 194, 1905, JFM 36.0194.01) entwickelt hat, zeigt Dickson, daß zwischen den Zahlen \(\chi(R)\) ganz ähnliche Relationen Bestehen, wie für die Frobeniusschen Gruppencharaktere. So ist z. B. für jedes Element \(S\) von \(\mathfrak H\) \[ \sum_{R}\chi(SR^{-1})\chi(R)=c\chi(S); \] hier bedeutet \(c\) eine Größe von \(F_{p}\), die für alle \(S\) denselben Wert hat und der Gleichung \(cf=h\) genügt.
Für den Fall, daß die Ordnung \(h\) der Gruppe \(\mathfrak H\) nicht durch \(p\) teilbar ist, ergibt sich zugleich, daß die Frobeniusschen Resultate über die Darstellungen von \(\mathfrak H\) durch lineare homogene Substitutionen in vollem Umfange auch für den Körper \(F_{p}\) bestehen bleiben. Auf anderen Wege hat Dickson dies bereits in seiner früheren Arbeit aus dem Jahre 1902 gezeigt.
Wesentlich schwieriger gestaltet sich die Untersuchung, wenn \(h\) durch \(p\) teilbar ist. Auf diesen Fall bezieht sich ein wichtiger Satz, den der Verf. in der zweiten in der Überschrift genannten Arbeit aufstellt. Dieser Satz, der auch zahlentheoretisch von Interesse ist, lautet: Ist die Ordnung \(h\) der Gruppe \(\mathfrak H\) durch die Potenz \(p^{\alpha}\) der Primzahl \(p\) teilbar, so ist die Frobeniussche Gruppendeterminante \(| x_{{PQ}^{-1}}|\) mod. \(p\) der \(p^{\alpha}\)-ten Potenz einer ganzen ganzahligen rationalen Funktion der \(h\) Variabeln \(x_{R}\) kongruent. Genauer wird gezeigt: es läßt sich, wenn \(X=(x_{PQ^{-1}})\) die Gruppenmatrix von \(\mathfrak H\) ist, eine ganzzahlige Matrix \(T\) des Grades \(h\), deren Determinante nicht durch \(p\) teilbar ist, bestimmen, so daßdie Matrix \(T^{-1}XT\) (mod. \(p\)) einer Matrix der Form \[ \begin{vmatrix}\l \;& \l\;&\l\;& \l\\ Z & 0 & \dots & 0 \\ Z_{21} & Z & \dots & 0 \\ \hdotsfor4\\ Z_{n1} & Z_{n2} & \dots & Z \end{vmatrix} \] kongruent wird; hierbei ist \(n=p^{\alpha}\) zu setzen.

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