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Über die Reduktion algebraischer Gleichungen durch Adjunktion insbesondere reeller Radikale. (German) JFM 48.0077.01
Der Höldersche Satz, daß eine in einem reellen Rationalitätsbereich irreduzible Gleichung mit ausschließlich reellen Wurzeln sich nur dann durch reelle Radikale auflösen läßt, wenn ihr Grad eine Potenz von zwei ist, wird in folgender Weise verallgemeinert: Für reelle irreduzible Gleichungen vom Grade \(2^\mu \cdot P\) (\(\mu\geq 0\); \(P\) ungerade) hat die Existenz einer reellen, durch reelle Radikale darstellbaren Wurzel das Vorhandensein von mindestens \(P - 1\) imaginären Wurzeln zur Folge. Der Beweis beruht auf zwei Reziprozitätssätzen, die von der gegenseitigen Reduktion handeln, die jede von zwei irreduzibeln Gleichungen durch die Adjunktion von Wurzeln der andern erfährt. Diese Sätze werden ohne Verwendung der Galoisschen Theorie abgeleitet; der zweite besteht in einer Verschärfung des Kronecker-Kneserschen Satzes A. Kneser [Math. Ann. 30, 179–202 (1887; JFM 19.0067.02)], die in anderer Weise, wie Verf. angibt, schon G. Landsberg [J. Reine Angew. Math. 132, 1–20 (1906; JFM 37.0093.01)] unter Heranziehung der Galoisschen Gruppe gegeben hat.

MSC:
12F10 Separable extensions, Galois theory
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References:
[1] Kneser, A.: Über die Gattung niedrigster Ordnung, unter welcher gegebene Gattungen algebraischer Größen enthalten sind. Math. Annalen30 (1887), S. 196. · JFM 19.0067.02 · doi:10.1007/BF01450067
[2] Landsberg, G.: Über Reduktion von Gleichungen durch Adjunktion. Journ. f. d. r. u. ang. Math.132 (1906), S. 8. · JFM 37.0093.01
[3] Landsberg, G.: a. a. O. S. 9, Gleichung (14).
[4] Hölder, O.: Über den Casus irreducibilis bei der Gleichung dritten Grades. Math. Annalen38 (1891), S. 307. Vgl. weiter A. Kneser, Bemerkungen zu dem sogenannten Casus irreducibilis bei kubischen Gleichungen. Math. Annalen41 (1893), S. 344. A. Loewy, Über algebraische Gleichungen mit reellen Wurzeln und den sog. Casus irreducibilis bei kubischen Gleichungen. Math. Zeitschr.11 (1921), S. 108. · JFM 23.0099.04 · doi:10.1007/BF01199257
[5] In dem speziellen Fall, daß der Gleichungsgrad die Potenz einer Primzahl ist, findet sich, wie ich nach Abschluß der Arbeit bemerke, dieses Resultat bereits Sei Gegenbauer, L.: Zur Theorie der algebraischen Gleichungen. Monatshefte f. Math. u. Physik6 (1895), S. 12.
[6] Kneser, A.: Math. Annalen30 (1887), S. 195, hat diesen Satz selbständig gefunden, den Kronecker nach Hölders Angaben [Math. Annalen38 (1891) S. 309] in seinen Vorlesungen vortrug. Die hier gegebene Bestimmung vonB 1 (?1 x) findet sich noch nicht bei Kneser. Die weitere Literatur über den Kronecker-Kneserschen Satz findet man in meinem Aufsatz in Math. Zeitschr.11, (1921), S. 109. · JFM 19.0067.02 · doi:10.1007/BF01450067
[7] Abel, N. H.: Journ. f. r. u. ang. Math.1 (1826), S. 71=Oeuvres par Sylow et Lie1, S. 72: Kronecker, Monatsber. d. Berliner Akademie1879, S. 206.
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