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Distinction of the maxima and minima of simple integrals. (Unterscheidung der Maxima und Minima der einfachen Integrale.) (Russian) JFM 23.0407.01
Kiew Univ. Nachr. No. 9. 1-44 (1891).
Trotz vieler Versuche hat man keine befriedigende Theorie für die genannte Frage. Der von L. Scheeffer (Math. Ann. XXV, F. d. M. XVII. 1885. 353, JFM 17.0353.01) gegebene, sehr complicirte Beweis scheint Herrn Ermakow ungenügend. Es kann nämlich der Fall eintreten, dass die zweite Variation ihr Zeichen nicht ändert und nicht gleich Null wird, dass aber unendlich kleine Zuwachse der Veränderlichen in der Weise gewählt werden können, dass der absolute Wert der zweiten Variation kleiner wird als der der dritten. “Es muss also der vollständige Zuwachs, nicht nur die zweite Variation berücksichtigt werden.”
Wenn wir bei einer Aufgabe des Maximums oder Minimums einer Function \(F\) mehrerer Veränderlichen \(d^2F=A_1\omega_1^2+A_2\omega_2^2+\cdots\) setzen, wo alle \(A_i\) positiv sind und ihre Anzahl geringer ist als die der Veränderlichen, müssen wir haben, damit Maximum oder Minimum sein könne: \[ 1)\quad d^3F=\omega_1\sigma_1+\omega_2\sigma_2+\cdots. \] 2) Wenn \(\omega_i+\frac{\sigma_i}{\sigma A_i}=0\) (oder bei Weglassung der Unendlichkleinen höherer Ordnungen \(\omega_i=0\)), so muss sein \[ \frac{d^4F}{24}-\sum\;\frac{\sigma_i^2}{72.A_i}>0. \] Der Fall ist zuerst von Herrn G. Peano bemerkt. Ganz analoge Schwierigkeiten treten in der Variationsrechnung auf. – Nach diesen einleitenden Bemerkungen knüpft Herr Ermakow seine Betrachtungen an die einfache Aufgabe an, bei welcher unter dem Integralzeichen nur der erste Differentialquotient vorkommt, und betrachtet in der zweiten Hälfte seiner Abhandlung in ähnlichen Weise die allgemeine Aufgabe. Da seine Auseinandersetzungen in beiden Fällen ganz ähnlich sind, so werde hier nur über die zweite berichtet.
Die Aufgabe ist also die, Maxima und Minima des Integrals \(\int f(x,y_1,y_2,\dots,y_1',y_2',\dots)dx\) zu finden, wenn zwischen den Grössen \(x,y_1,y_2,\dots\) die Gleichungen bestehen: \[ (1)\quad \psi_i(x,y_1,y_2,\dots,y_1',y_2',\dots)=0.\qquad (i=1,2,\dots) \] Nehmen wir als neue Veränderliche \(p_1,p_2,\dots\) und wählen eine noch unbekannte Function \(\varphi(x,y_1,y_2,\dots,p_1,p_2,\dots)\) in der Weise, dass die Gleichungen \[ \begin{aligned} & (2)\quad F=\frac{\partial\varphi}{\partial x}+ \varSigma_ky_k'\cdot\frac{\partial\varphi}{\partial y_k}, \\ & (3)\quad \frac{\partial F}{\partial y_i'}=\frac{\partial\varphi}{\partial y_i}\qquad (i=1,2,\dots) \\ & \qquad\qquad [\text{wo }F=f+\varSigma_j\psi_j.\mu_j] \end{aligned} \] in Folge der Gleichungen (1) identisch erfüllt seien. Für den Fall, dass die Gleichungen (1) und (3) in Bezug auf \(y_1',y_2',\dots,\mu_1,\mu_2,\dots\) aufgelöst werden können, erhalten wir zur Bestimmung der Function \(\varphi\) die Gleichung \[ \varPhi(x,y_1,y_2,\dots,\frac{\partial\varphi}{\partial x},\;\frac{\partial\varphi}{\partial y_1},\;\frac{\partial\varphi}{\partial y_2},\dots)=0. \] Sie ist identisch mit der in der gewöhnlichen Theorie zur Auflösung der kanonischen Gleichungen dienenden. Es folgt daraus: \[ (4)\quad \frac{\partial^2\varphi}{\partial x\partial p_i}+\varSigma_ky_k'\;\frac{\partial^2\varphi}{\partial y_k\partial p_i}=0\qquad (i=1,2,\dots), \] oder \[ (4^{\text a})\quad d\left(\frac{\partial\varphi}{\partial p_i}\right) =\varSigma_k\;\frac{\partial^2\varphi}{\partial p_i\partial p_k}\;dp_k\qquad (i=1,2,\dots). \] Das Integral nimmt also die Form an: \[ (5)\quad \int\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x}+\varSigma y_k'\;\frac{\partial\varphi}{\partial y_k}\right)dx\quad\text{oder}\quad \int\left(d\varphi-\varSigma\;\frac{\partial\varphi}{\partial p_k}\;dp_k\right)dx. \] Die Aufgabe wird folglich: die Veränderlichen \(y_1,y_2,\dots,p_1,p_2,\dots\) so als Functionen von \(x\) zu bestimmen, dass die Bedingungsgleichungen (4) erfüllt seien und (5) einen Maximal- oder Minimalwert erhalte.
Unter Voraussetzung, dass \(\delta y_i\) und \(\delta p_i\) an den Grenzen gleich Null sind, erhält man: \[ \varSigma_k\;\frac{\partial^2\varphi}{\partial p_k\partial y_i}\;dp_k=0\quad (i=1,2,\dots). \] Dies giebt die “vollständige Lösung” \[ p_i=a_i,\quad \frac{\partial\varphi}{\partial p_i}=b_i \] (hieraus \(y_i=\eta_i\)). Es giebt aber noch die “singuläre Lösung” \[ \left| \begin{matrix} \frac{\partial^2\varphi}{\partial p_1\partial y_1}, & \frac{\partial^2\varphi}{\partial p_1\partial y_2}, & \dots \\ \frac{\partial^2\varphi}{\partial p_2\partial y_1}, & \frac{\partial^2\varphi}{\partial p_2\partial y_2}, & \dots \\ \hdotsfor3 \end{matrix}\right|=0. \] Für die vollständige Lösung wird als eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung eines extremen Wertes des Integrals (5) gefunden, dass “der Ausdruck \[ \varDelta_2\varphi'=\sum_{i,k}\left[ \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial^2\varphi}{\partial p_i\partial p_k}\right) +\varSigma_j\;\frac{\partial}{\partial y_j}\left(\frac{\partial^2\varphi}{\partial p_i\partial p_k}\right)y_j'\right]\delta p_i\delta p_k \] für beliebige \(\delta p_i\) und alle Werte von \(x\) zwischen den gegebenen Grenzen sein Zeichen nicht ändere”. Man kann \(\varDelta^2\varphi'\) in der Form darstellen: \[ \varDelta_2\varphi'=A_1\omega_1^2+A_2\omega_2^2+\cdots, \] wo \(\omega_1,\omega_2\) lineare homogene Ausdrücke in Bezug auf \(\delta p_1,\delta p_2,\dots\) sind. Werden dann \(\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial^2\varphi}{\partial p_i\partial p_k}\right)+\varSigma_j\frac{\partial}{\partial y_j}(\frac{\partial^2\varphi}{\partial p_i\partial p_k})y_j'\) und \(\frac{\partial^3\varphi}{\partial p_i\partial p_k\partial p_\mu}\) für \(y_i=\eta_i\) und \(p_i=a_i\) zwischen den Integrationsgrenzen nicht unendlich und keine der Grössen \(A_1,A_2,\dots\) gleich Null, so kann man die Glieder dritter Ordnung weglassen, und die angegebene notwendige Bedingung ist auch hinreichend. Der Fall, wo \(A_1\) zum Beispiel gleich Null wird für \(x=\xi\), bedarf weiterer Umformungen. Es werden auch die Fälle betrachtet, wo einige der oben angedeuteten Grössen unendlich werden.
Der Verfasser zeigt endlich, wie die zweite Variation durch die ursprüngliche Function \(f\) und die Anfangsbedingungen (1) ausgedrückt wird, und erläutert zum Schluss seine Auseinandersetzungen an einem Beispiele.

MSC:
49K15 Optimality conditions for problems involving ordinary differential equations