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Le trasformazioni piane doppie. (Italian) JFM 09.0581.01
Von den eindeutigen nächstfolgenden Ebenentransformationen, den ein- zweideutigen, in welchen jedem Punkte der Ebene \(E\) zwei Punkte der Ebene \(E'\), jedem Punkte von \(E'\) aber nur ein Punkt von \(E\) entspricht, hat Clebsch (Clebsch Ann. III. 45, siehe F. d. M. II. 637, JFM 02.0637.03) zuerst einige Fälle behandelt. Obwohl schon in der Clebsch’schen Schrift (Clebsch Ann. VII., s. F. d. M. V. 29, JFM 05.0029.03) auf dieses weite, der Analysis und Geometrie offene Gebiet hingewiesen worden war, hat doch, von einem inzwischen gegebenen Abbildungskriterium der Doppelebene \(E\) abgesehen, erst die vorliegende Arbeit die allgemeine Frage nach den ein-zweideutigen Transformationen in Angriff genommen. Durch die Punktepaare, in welche die Curve \(E'\) zerlegt wird, hat man offenbar in \(E'\) einen Fall solcher involutorischer ebener betrachtet; so dass also hier eine Förderung dieser Transformationstheorieen von verschiedener Seite her in verschiedener Auffassung vorliegt.
Bei den fraglichen Transformationen entspricht den Geraden der Doppelebene \(E\) auf der einfachen Ebene \(E'\) eine lineare \(\infty^2\)-Schaar von Curven \(\varphi\)’, der Ordnung \(n\) und vom Geschlecht \(p\) \((p\geqq 0)\), mit soviel festen Fundamentalpunkten, dass sich je zwei Curven der Schaar nur in 2 beweglichen Punkten treffen, also von hyperelliptischen Curven \(\varphi'\). Umgehehrt entspricht den Gereden von \(E'\) auf \(E\) eine quadratische \(\infty^2\)-Schaar von rationalen Curven \(\varphi\) der Ordnung \(n\), derart, dass unter den beweglichen Schnittpunkten von irgend zwei Curven der Schaar immer einer ausgezeichnet ist; die Curven \(\varphi\) berühren alle die Uebergangscurve \(\Omega\) – den Ort der Punkte in \(E\), welchen je zwei zusammenfallende Punkte in \(E'\) entsprechen – überall, wo sie \(\Omega\) treffen, von festen Punkten abgesehen, und haben überdies ausserhalb \(\Omega\) eine Reihe beweglicher Doppelpunkte.
Durch diese Berührungseigenschaften wird Clebsch dazu geführt, das ganze Problem, eine Doppelebene \(E\) mit Uebergangscurve \(\Omega\), wenn möglich, auf die einfache Ebene abzubilden, als eine Aufgabe der Zweitheilung der zu \(\Omega\) gehörigen Abel’schen Functionen aufzufassen. Clebsch führt so den Fall durch, wo \(\Omega\) von der Ordnung 2 oder 4 ist.
Der Verfasser behauptet nun in der Einleitung, dass er das Problem, eine Doppelebene auf die einfache Ebene abzubilden, in der allgemeinsten Weise lösen wolle. Aber die Frage, um die es sich dabei handelt, nämlich welche Systeme \(E-E'\) überhaupt existiren – also die Angabe aller abbildbaren Ebenen \((E,\Omega)\) oder die Aufstellung aller Systeme \(\varphi'\) in \(E'\) – wird vom Verfasser überhaupt nicht berührt. Der Inhalt seiner Abhandlung ist eine sehr eingehende Untersuchung der Beziehungen, welche bei schon geleisteter Abbildung zwischen einfacher und Doppelebene stattfinden.
Die Transformationen kann man nach dem Geschlecht \(p\) der Curven \(\varphi'\)in \(E'\), d. h. nach der Ordnung \(2p+2\) der zugehörigen Uebergngscurve \(\Omega\) in \(E\) eintheilen. Für \(p=0\) sind alle Systeme \(E'\) eindeutig ableitbar aus den Systemen von Kegelschnitten durch 2 Punkte; für \(p=1\) ebenso aus der Schaar von Curven \(4^{\text{ter}}\) Ordnung durch 7 feste Punkte. Für \(p>1\) sind Bedingungen für die Lage der Basispunkte, durch die Fundamentalpunkte zu gehen, \(\Omega\) in einer bestimmten Anzahl von beweglichen Punkten zu berühren und ausserhalb \(\Omega\) eine bestimmte Anzahl von beweglichen Doppelpunkten zu haben.
Die ausführlichste Discussion wird dem Verhalten der Fundamentalpunkte und -Curven gewidmet, das von demjenigen Verhalten abhängt, welches diese Gebilde in Bezug auf die in \(E'\) durch die Punktepaare gegebene involutorische Transformation besitzen. Insbesondere treten die isolirten, sich selbst entsprechenden Punkte von \(E'\), die zugleich Fundamentalpunkte sind, vielfch auf; vermöge derselben zerfällt \(\Omega\) etc. Ferner werden discutirt die Jacobi’sche Curve der \(\varphi'\) und einige geometrischer Oerter; so existirt zu zwei Curven \(\varphi_1, \varphi_2\) (aus der Schaar der \(\varphi\) in \(E\)) immer eine Curve von derselben Ordnung wie die \(\varphi\), die durch die Berührungspunkte der \(\varphi_1, \varphi_2\) mit \(Omega\) und durch deren ausserhalb \(\Omega\) gelegenen Doppelpunkte geht, deren \(i\)-fache Fundamentalpunte zu \(i\)-fachen Punkten hat, und weiter durch den einen ausgezeichneten Schnittpunkt von \(\varphi_1,\varphi_2\) geht. Auf diese Weise wird der eine Schnittpunkte von den übrigen abgesondert.
Die Beispiele behandeln viele specielle Fälle bei \(p=0\) und \(p=1\). Eine Tafel giebt alle Transformationen für \(p=0\) und \(p=1\) von \(n=2\) bis \(n=10\). Für \(p>1\) ist nur ein specieller Fall der Construction solcher Systeme angegeben.

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