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Studies in analysis. (Recherches d’analyse.) (French) JFM 08.0166.01

Pr. Arnsberg (1876).
I. Die unendliche Reihe \(\sum_{\alpha = 1 \ldots \infty} \frac{1}{(a + \alpha)^{n}}\), deren numerischen Werth Euler (Calcul intégral, Chap. VII.) für ein positives \(n\), das \(>1\) ist, als zwischen den beiden Grenzen \(\frac{1}{(n - 1)a^{n}}\) und \(\frac{1}{(n-1)\; (a + 1)^{n}}\) liegend nachgewiesen hat, wird vom Verfasser verallgemeinert zu folgender Reihe: \[ A \varSigma \frac{1}{(a + \alpha)^{2}} - B \varSigma \frac{1}{(a + \alpha)^{3}} + C \varSigma \frac{1}{(a + \alpha)^{4}} - D\varSigma \frac{1}{(a + \alpha)^{5}} + \cdots, \] die den Charakter einer convergenten Reihe hat, sobald die Zahlencoefficienten \(A, B, C, D\) etc. von einem bestimmten Gliede an abnehmen. Dies ist z. B. der Fall, wenn diese Coefficienten von der Form \[ \frac{1}{2.3},\quad \frac{2}{3.4}, \quad \frac{3}{4.5}, \quad \frac{4}{5.6} \quad\text{etc.} \] sind. Diese specielle Function wird nun benutzt zurAuswerthung des Legendre’schen Integrals \[ \varGamma (a)=\int_{0}^{\infty}x^{a- 1} e^{-x} dx, \] und es ergiebt sich die Formel: \[ \log \varGamma a = (a - \tfrac 12)\log a + \tfrac 12 \log 2\pi - a+ \sum_{a =0 \ldots \infty} \left\{ (a + \tfrac 12 + \alpha) \log \; \left( 1 + \frac{1}{a + \alpha}\right) -1\right\}. \] II. Aus der Gleichung \[ \int_{0}^{\infty} e^{-ax}x^{n-1}dx =\frac{1}{a} \varGamma (n), \] welche für positive Zahlen \(a\) und \(n\) gilt, lassen sich durch die Substitution \(a - b\) resp. \(a + b\) für \(a\) und durch Addition resp. Subtraction der erhaltenen Gleichungen, die Integrale \[ \int_{0}^{\infty} e^{-ax} \text{Cos}\;(bx). x^{n- 1}dx, \quad \int_{0}^{\infty} e^{-ax} \text{Sin} \;(bx)x^{n- 1}dx \] bilden, deren Analogie mit denjenigen, in denen anstatt der hyperbolischen Functionen Sin, Cos, die trigonometrischen \(\sin\), \(\cos\) auftreten, nachgewiesen wird. Aus ihnen erhält man leicht einige andere hyperbolische Integrale, die denentsprechenden Kreis-Integralen ganz analog sind.
III. Das Integral von Lagrange: \[ \int_0^\infty e^{-ax^2} \cos bx. dx = \tfrac 12 \surd \frac{\pi}{a} \cdot e^{\frac{b^2}{4a}} \] und das analoge für die hyperbolische Function\(\text{Cos}\,bx\) liefern die Auswerthung einer Reihe bestimmter Integrale, z. B. \[ \int_{0}^{\infty} e^{-4ax^{2}} \frac{\text{Sin}\;(2n + 1)\;x}{\text{Sin} x} dx, \quad \int_{0}^{\infty} e^{-4ax^{2}} \frac{\sin \;(2n + 1) \;x}{\sin x} dx; \]
\[ \int_{- \infty}^{+\infty} e^{-ax^2}\cos bx \cdot \cos cx dx, \quad \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2} \text{Cos}bx.\text{Cos}cx.dx; \]
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{- ax^2} \cos bx.\text{Cos} cx dx, \quad \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2} \sin bx \text{Sin} cx dx \quad\text{u. a.} \] IV.Aus dem Integral \[ B (a,b) = \int^1 x^{a-1} (1 - x)^{b-1} dx \] lässt sich die Relation \[ \int_{0}^{\infty} \frac{\text{Cos\,}2px}{(\text{Cos\,}x)^{2q}}dx = 4^{q-1}B(q + p, q-p). \quad (q>p) \] herleiten, welche bemerkenswerthe Gleichungen für specielle bestimmte Integrale und für die Summation der Factoriellen liefert.
V. Die Eigenschaft der Aehnlichkeit in den kleinsten Theilen für die durch die Gleichungen \[ u = x + yi, \quad U = X + Yi = f(u) \] dargestellten Figuren wird untersucht für die hyperbolischen Functionen \(U = \text{Sin\,}u\) und \(U = \text{Tg\,}u\).

MSC:

26A42 Integrals of Riemann, Stieltjes and Lebesgue type
44A99 Integral transforms, operational calculus