×

About some recent results obtained by Mr. Klein in the resolution of the equation of degree five. (Sopra alcuni recenti risultati ottenuti dal sig. Klein nella risoluzione delle equazioni del quinto grado.) (Italian) JFM 09.0064.02

Die Gleichung zur Bestimmung des Moduls \(k\) für irgend eine gegebene quadratische Form ist, wie aus der Theorie der elliptischen Functionen bekannt ist, folgende \[ \frac{g^3_2}{g^3_2-27g^2_3}=\frac{(1+14k^2+k^4)^3}{108k^2(1- k^2)^4}; \] und diese Gleichung ist für \(\surd k=\eta\) keine andere als die von Schwarz und Klein gegebene Ikosaedergleichung. Vorliegende Notizen sind briefliche Mittheilungen des Herrn Klein (JFM 09.0064.01) an Herrn Brioschi über weitere Untersuchungen der Ikosaedergleichung. Diese Untersuchungen führen zur Auflösung der Gleichung \(5^{\text{ten}}\) Grades mit Hülfe der elliptischen Functionen und zeigen zugleich einen innigen Zusammenhang zwischen den beiden Methoden von Hermite und von Kronecker. Es ergiebt sich, wie aus der zweiten Note ersichtlich, eine Darstellung der Wurzeln der Gleichung fünften Grades durch hypergeometrische Functionen.

MSC:

12E12 Equations in general fields
30C15 Zeros of polynomials, rational functions, and other analytic functions of one complex variable (e.g., zeros of functions with bounded Dirichlet integral)
33C99 Hypergeometric functions
33E05 Elliptic functions and integrals

Biographic References:

Klein, Felix; Brioschi, Francesco

Citations:

JFM 09.0064.01
PDFBibTeX XMLCite