Brioschi, F. About some recent results obtained by Mr. Klein in the resolution of the equation of degree five. (Sopra alcuni recenti risultati ottenuti dal sig. Klein nella risoluzione delle equazioni del quinto grado.) (Italian) JFM 09.0064.02 Acc. R. d. L. (3) I, 31-34 (1877). Die Gleichung zur Bestimmung des Moduls \(k\) für irgend eine gegebene quadratische Form ist, wie aus der Theorie der elliptischen Functionen bekannt ist, folgende \[ \frac{g^3_2}{g^3_2-27g^2_3}=\frac{(1+14k^2+k^4)^3}{108k^2(1- k^2)^4}; \] und diese Gleichung ist für \(\surd k=\eta\) keine andere als die von Schwarz und Klein gegebene Ikosaedergleichung. Vorliegende Notizen sind briefliche Mittheilungen des Herrn Klein (JFM 09.0064.01) an Herrn Brioschi über weitere Untersuchungen der Ikosaedergleichung. Diese Untersuchungen führen zur Auflösung der Gleichung \(5^{\text{ten}}\) Grades mit Hülfe der elliptischen Functionen und zeigen zugleich einen innigen Zusammenhang zwischen den beiden Methoden von Hermite und von Kronecker. Es ergiebt sich, wie aus der zweiten Note ersichtlich, eine Darstellung der Wurzeln der Gleichung fünften Grades durch hypergeometrische Functionen. Reviewer: Müller, F., Dr. (Ludwigslust) Cited in 1 Review MSC: 12E12 Equations in general fields 30C15 Zeros of polynomials, rational functions, and other analytic functions of one complex variable (e.g., zeros of functions with bounded Dirichlet integral) 33C99 Hypergeometric functions 33E05 Elliptic functions and integrals JFM Section:Zweiter Abschnitt. Algebra. Capitel 1. Gleichungen. (Allgemeine Theorie. Besondere algebraische und transcendente Gleichungen). Keywords:univariate polynomial equation of degree five; equation of the icosaeder; elliptic function; root representation by means of hypergeometric functions; Kronecker’s and Hermite’s method for the equation of degree five Biographic References: Klein, Felix; Brioschi, Francesco Citations:JFM 09.0064.01 PDFBibTeX XMLCite \textit{F. Brioschi}, Atti R. Acc. d. Linc. (3) 1, 31--34 (1877; JFM 09.0064.02)