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The set on which an entire function is small. (English) Zbl 0036.04602

Es sei \(f(z)\) eine ganze Funktion, \(M(r) = \text{Max}|f(r e^{i\varphi})|,\quad \lambda > 1\), \(m_\lambda(r)\) das Flächenmaß der Menge \((|z| \leq r, \quad \log|f(z)| \leq (1-\lambda) \log M(r))\), \[ \bar D(\lambda) = \limsup_{r \to \infty} m_\lambda(r)/\pi r^2 \text{ und } \underline{D}\lambda = \liminf_{r \to \infty} m_\lambda(r)/\pi r^2. \] Mit einfachen Mitteln, die sich nur auf den subharmonischen Charakter von \(\log|f(z)|\) stützen, gewinnen die Verff. folgende 2 Resultate:
1. Es gibt eine nur von \(\lambda\) abhängige Konstante \(K\), so daß \(\bar D (\lambda) \leq K\) für alle \(f\), dabei ist \(0<K\leq \lambda^{-1}\).
2. Es ist \(\underline{D}\lambda = o(\lambda^{-1})\) für \(\lambda \to \infty\).
Reviewer: Pfluger (Zürich)

MSC:

30D20 Entire functions of one complex variable (general theory)
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