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On a property of certain functions analogous to algebraic functions. (Sur une propriété de certaines fonctions analogues aux fonctions algébriques.) (French) JFM 11.0268.02

Dieselben Betrachtungen, welche der Herr Verfasser in einer früheren Note (siehe das vorige Referat, JFM 11.0268.01) auf die ganzen Functionen angewendet hat, werden hier benutzt, um folgenden Satz zu beweisen: Es sei \(A(z)\) eine Function der Variablen \(z\), welche in jedem Punkte der Ebene eine endliche Zahl von WErthen hat, und welche in der ganzen Ebene nur eine begrenzte Zahl von singulären Punkten hat. Alsdann kann es nicht 2 Werthe \(a\) und \(b\) geben, für welche die Gleichungen \(A(z)=a\) und \(A(z)=b\) nur eine endliche Anzahl von Wurzeln haben, wenn nicht die Function \(A(z)\) eine algebraische Function ist. Rechnet man die Pole der Function nicht unter die singulären Punkte, und nimmt man an, dass \(A(z)\)eine beliebige Anzahl willkürlich gelegener Pole habe, so giebt es nicht 3 Werthe \(a,\; b,\; c,\) so dass die Gleichungen \[ A(z)=a,\quad A(z)=b,\quad A(z)=c \] nur eine endliche Anzahl von Wurzeln haben, wenn nicht \(A(z)\) eine algebraische Function ist. Hieraus folgt, dass, wenn die Differentialgleichung \[ F(x,\; y)\frac {dy}{dx} = (y-a)(y-b)(y-c)f(x,\; y) \] ein in der ganzen Ebene eindeutiges Integral hat, dieses nur eine rationale Function sein kann.

MSC:

30C65 Quasiconformal mappings in \(\mathbb{R}^n\), other generalizations

Keywords:

Picard Theorem

Citations:

JFM 11.0268.01
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Full Text: Gallica