×

Conditions in order that the arbitrary constants in a general expression are mutually distinct. (Conditions pour que les constantes arbitraires d’une epression générale soient distinctes entre elles.) (French) JFM 12.0338.02

Es wird zunächst der Satz bewiesen: Sind \(A_1, A_2,\ldots, A_m \) Functionen der unabhängigen Variabeln \(x_1, x_2, \ldots, x_n\), und bezeichnet \(R_m\) die Determinante aller \(A\) und irgend welcher die Ordnung \(m\) nicht übersteigender, für alle \(A\) gleichgebildeter partieller Differentialquoatienten, \(R_{m-1}\) eine solche, wo die \((m-1)^{\text{te}}\) Ordnung nicht überstiegen wird; ist alsdann jedes \(R_m\) null und irgend ein \(R_{m-1}\) nicht null, so existirt eine lineare Relation zwischen den \(A\). Bildet man nämlich alle linearen Gleichungssysteme, deren Coefficientendeterminanten die \(R_m\) sind, so lässt sich zeigen, dass sie durch Constante befriedigt werden können, und die gemeinschaftliche Gleichung \[ A_1u_1+A_2u_2+\dotsm + A_{m-1}U_{m-1}+A_m \] ist die geforderte Relation. Jetzt folgt leicht, dass \(R_m=0\), gültig für alle \(R_m\), die nothwendige und ausreichende Bedingung der Existenz einer homogenen linearen Relation zwischen den \(A\) ist. Ferner werden die zwei Definitionen aufgestellt:
I. Zwei Ausdrücke \[ f(x_1, x_2,\ldots, x_n;\quad a_1, a_2,\ldots, a_m) \] sind “äquivalent”, wenn man, indem man in dem einen den Coefficienten \(a\) alle Werthe erheilt, daraus alle möglichen im andern speciell enthaltenen Functionen ableitet, und reciprok.
II. Die Constanten eines solchen Ausdrucks sind “distinct”, wenn kein Ausdruck mit weniger Constanten ihm äquivalent ist.
Hiernach lautet nun der Hauptsatz: “Damit die Constanten eines Ausdrucks \(f\) distinct seien, ist es nothwendig und ausreichend, dass zwischen den ersten partiellen Differentialquotienten nach den \(a\) keine homogene lineare Relation mit constanten Coefficienten existirt. Hierzu wieder ist es nothwendig und ausreichend, dass zwischen den partiellen Differentialquotienten in Bezug auf die \(x\), deren Ordnung \(m-1\) nicht übersteigt, mindestens ein System von \(m\) Functionen, einschliesslich \(f\) selbst, sich findet, derart dass zwischen ihnen keine Relation existirt, wo die \(a\) nicht explicit stehen.”
Dies wird bewiesen.

MSC:

26B10 Implicit function theorems, Jacobians, transformations with several variables
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: EuDML Gallica