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On the ordinary singularities of a space curve and a developpable surface. (Sur les singularités ordinaires d’une courbe gauche et d’une surface développable.) (French) JFM 02.0444.01

Bekanntlich hat Herr Cayley aus den Plücker’schen Gleichungen zwischen den Anzahlen der sechs einfachsten Singularitäten einer ebenen Curve sechs Gleichungen zwischen den Zahlen für die neun einfachsten Singularitäten einer Raumcurve abgeleitet, wobei zu der als Punktreihe aufzufassende abwickelbare Fläche hinzugerechnet werden muss, welche reciprok zu der Curve als die Einhüllende ihrer sämmtlichen Osculationsebenen erscheint. Darauf haben die Herrn Cayley, Salmon, Zeuthen vermittelst der neun Cayley’schen Zahlen andere Singularitätenzahlen für eine Curve und eine abwickelbare Fläche aufgestellt. In der vorliegenden Abhandlung beweist nun Herr Zeuthen diese von ihm frührer durch die Comptes rednus (siehe Fortsch. d. M. I. p. 231.) veröffentlichten Resultate, und fügt eine Reihe neuer hinzu. Die Singularitäten, deren Anzahlen hergeleitet werden, sind sämmtlich von der ersten Ordnung, das heisst, sie setzen nur Punkte, Ebenen oder Gerade mit der Curve in Beziehung.
Nach Einführung übersichtlicher symbolischer Bezeichnungen für die Anzahl der Gebilde, welche gewissen gegebenen Bedingungen genügen, fügt der Verfasser den gewöhnlichen neun Singularitäten noch drei andere hinzu, nämlich das Begabtsein der Curve mit Doppelpunkten, das der abwickelbaren Fläche mit Doppeltangentialebenen, und das Enthalten von Inflexionstangenten, d. h. Geraden, die durch drei aufeinanderfolgende Punkte der Curve gehen oder recoprok auf drei aufeinanderfolgenden Ebenen der abwickelbaren Fläche liegen. Die Zahlen für diese Singularitäten führt er in die Cayley’schen Formeln ein, indem er die Plücker’schen Formeln auf den Kegel, welcher die gegebene Curve von irgend einem Punkte aus projicirt, resp. auf die ebene Curve anwendet, in welcher die abwickelbare Fläche von irgend einer Ebene geschnitten wird. Die Herleitungen der Formeln für die neuen Singularitätenzahlen beruhen auf dem von Herrn Chasles in die Geometrie eingeführten algebraischen Princip der Correspondenz, welches aussagt, dass wenn in einer geraden Punktreihe einem beliebigen Punkte in gewisser Weise \(m\) Punkte entsprechen, von denen jeder zu \(n\) Punkten der entsprechenden ist, es \(m+n\) Stellen auf der Geraden geben muss, wo zwei einander so entsprechende Punkte zusammenfallen, und welches das Analoge von ebenen Strahlbüscheln behauptet. Die Schwierigkeiten, welche bei der Anwendung dieses Princips die Frage verursacht, wie vielfach jede Lösung zu rechnen ist, löst der Verfasser durch zwei Methoden. In der ersten sieht er die Entfernungen \(x\) und \(u\) zweier einander entsprechender Punkte einer Geraden von einem auf ihr liegenden festen Punkte als die Coordinaten einer Curve \(S\) an, deren Schnittpunkte mit der Geraden \(x=u\) dann mit den Punkten der Geraden correspondiren, in denen zwei einander entsprchende Punkte vereinigt sind. Eine Untersuchung, wieviel Punkte \(S\) und \((x=u)\) in jedem dieser Schnittpunkte gemeinsam haben, ergiebt dann, wievielmal entsprechende Punkte an der zugehörigen Stellen des Trägers der Punktreihe zusammenfassen. Die zweite vom Verfaser experimentell genannte Methode beruht darauf, die unbekannten Coefficienten durch Gleichsetzung von Ausdrücken zu bestimmen, die auf verschiedene Weise nach dem Princip der Correspondenz für dieselbe Zahl gefunden sind. Zur Auseinandersetzung dieser beiden Methoden wird zuerst die Zahl der Geraden bestimmt, welche zwei feste Gerade treffen, und ausserdem noch die gegebene Curve \(m^{\text{ter}}\) Ordnung in zwei verschiedenen Punkten schneiden, und daran sich anschliessend, die Zahl der Geraden, welche eine feste Gerade und dreimal die Curve treffen. Bei dieser letzten Aufgabe ergiebt sich, um ein Beispiel solcher Singularitätenformeln hier anzuführen, \[ (m-2)\biggl[h- \frac{m(m- 1)}{6} \biggr], \] wo \(h\) die Zahl der Geraden ist, welche, von einem Punkte ausgehend, die gegebene Curve zweimal treffen. Hierauf folgen mehr als vierzig Bestimmungen der Anzahlen von Punkten, die Geraden und Ebenen, welche mit der gegebenen Curve in Beziehung stehen, und zwar sind diese Zahlen in ihrer Abhängigkeit von den früher erwähnten zwölf fundamentalen Singularitätenzahlen dargestellt. Zu den complicirteren der hier gelösten Aufgaben gehört zum Beispiel die Bestimmung der Anzahl der Dreiecke, deren Ecken auf der Curve liegen, und deren Seite dieselbe noch einmal treffen, und die Bestimmung der Anzahl der Dreiecke, deren drei Seiten je drei Schnitte mit der Curve haben, ohne dass eine Ecke auf sie fällt.

MSC:

51N35 Questions of classical algebraic geometry
14H50 Plane and space curves
14H20 Singularities of curves, local rings
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