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Sur l’analyticité des solutions des systèmes d’équations différentielles. (French) JFM 65.0405.02
Es handelt sich im wesentlichen um die in einer Voranzeige (C. R. Acad. Sci. URSS (2) 17 (1937), 343-346; F. d. M. \(63_{\text{I}}\), 468) behandelte Frage. Da gegenüber der Voranzeige einige Änderungen und Ergänzungen nötig sind, berichten wir unabhängig vom früheren Referat. Betrachtet wird ein System von Differentialgleichungen \[ F_ j (x_0, x_1, \dots, x_n, u_1, \dots, u_N, \dots) = 0, \quad j = 1, \dots, N, \tag{1} \] wo die \(F_j\) in einem Bereiche \(G\) der komplexen Veränderlichen \(x_0\), \(u_1, \dots, u_N\) und der reellen Veränderliehen \(x_1, \dots, x_n\) sowie der partiellen Ableitungen der \(u_\varrho\) nach \(x_0, x_1, \dots, x_n\) bis zur Ordnung \(n_\varrho\) einschließlich definiert sind \((\varrho = 1, \dots, N)\). Es soll \(F_j\) analytisch sein in \(x_0, u_1, \dots, u_N\) und deren Ableitungen, ferner soll \(F_j\) stetige Ableitungen nach \(x_1, \dots, x_n\) bis zur Ordnung \(L = 2n + 2\left[\dfrac{n+1}{2}\right] + n^* + 7\) besitzen \((j =1, \dots, N)\), wobei \(n^* = \text{ Max }(n_1, \dots, n_N)\) und \([y]\) die größte ganze in \(y\) enthaltene Zahl bedeutet. Es wird nun für alle reellen \(\alpha_0, \alpha_1, \dots, \alpha_n\) mit \(\sum\limits_{\nu = 0}^n \alpha_\nu ^2 = 1\) die Matrix \(M\) gebildet \[ M = \|m_{jq}\| = \left\| \sum \frac{\partial F_q}{\partial \left( \dfrac{\partial^{k_0 + k_1+ \cdots + k_n} u_j} {\partial x_0^{k_0} \partial x_1^{k_1} \cdots \partial x_n^{k_n}}\right)} \,\alpha_0^{k_0} \alpha_1^{k_1} \cdots \alpha_n^{k_n}\right\| \] (die Differentiationen nach \(x_0\) sind als Differentiationen nach dem reellen Teil von \(x_0\) zu verstehen), wobei über alle nicht negativen ganzen \(k_\nu\) mit \(\sum\limits_{\nu=0}^n k_\nu = n_j\) summiert ist. Es sei nun \[ M = \left\|\begin{matrix} M_1 & & & \\ & M_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & M_r \end{matrix}\right\|, \] wobei außerhalb der quadratischen Matrizen \(M_\varrho\) nur Nullen stehen (zugelassen ist dabei, daß \(M_\varrho\) nur ein einziges Element \(\alpha_0^{n_i}\) enthält). Bei der Bildung der in \(M_\varrho\) enthaltenen \(m_{jq}\) treten Ableitungen der \(F_q\) nach Ableitungen der durch \(M_\varrho\) bestimmten \(u_j\) auf; die \(F_q\) sollen nur Ableitungen der \(u_j\) nach den dem \(M_\varrho\) entsprechenden \(x_{0\varrho} = x_0, x_{1\varrho}, \dots, x_{l\varrho}\) enthalten. Gefordet wird, daß Det \((M_\varrho)\) für kein System reeller \(\alpha_{0\varrho}, \dots, \alpha_{l\varrho}\) mit \(\sum\limits_{\lambda = 0}^l \alpha_{\lambda\varrho}^2 = 1\) verschwindet, und zwar daß dies für jedes \(\varrho\) gilt. Dann sind für jede Lösung von (1) die \(u_j\) im Bereiche \(G\) analytisch in \(x_0\), falls jedes \(u_j\) stetige Ableitungen bis zur Ordnung \(L - 1 + n_j\) besitzt. Ist überdies \(G\) komplex auch hinsichtlich \(x_1, \dots, x_n\), sind ferner die \(F_j\) analytisch hinsichtlich ihrer sämtlichen Argumente, so sind die Lösungen von (1) analytisch gleichzeitig in \(x_0, x_1, \dots, x_n\), falls \(u_j\) stetige Ableitungen nach \(x_0, x_1, \dots, x_n\) bis zur Ordnung \(L - n^* - 1 + n_j\) besitzt und falls Det \((M)\) für kein System reeller \(\alpha_0, \dots, \alpha_n\) mit \(\sum a_\nu^2 = 1\) verschwindet. Ferner wird die Existenz von in \(x_0\) nicht-analytischen Lösungen von (1), die aber Ableitungen beliebig hoher Ableitungen besitzen nachgewiesen unter folgenden Annahmen über (1): Det \((M)\) besitzt für ein System reeller \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\) eine reelle Nullstelle \(\alpha_0 \neq 0\) und ist nicht identisch Null für alle \(\alpha_0, \alpha_1, \dots, \alpha_n\); die \(F_j\) sind linear mit konstanten Koeffizienten in den \(u_1, \dots, u_n\) und deren sämtlichen Ableitungen, während die von den \(u_j\) und ihren Ableitungen freien Glieder analytisch in \(x_0, x_1, \dots, x_n\) sind. Ähnliches gilt auch für gewisse nichtlineare Systeme. – Der Fall, daß Det \((M)\) für ein System nicht sämtlich verschwindender, reeller \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\) eine Nullstelle \(\alpha_0 = 0\) besitzt, kann bei linearen Systemen mit konstanten Koeffizienten auftreten, sowohl wenn alle Lösungen analytisch sind in \(x_0\), als wenn nichtanalytische, aber mit beliebig hohen Ableitungen versehene Lösungen vorhanden sind. -Schließlich werden Beispiele linearer Systeme, ähnlich den obigen, angegeben, welche beliebig oft differenzierbare Lösungen besitzen, die aber nicht-analytisch sind gleichzeitig hinsichtlich aller ihrer Argumente.

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