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Harmonics on homogeneous manifolds. (English) JFM 60.0360.01
Die Arbeit schließt sich an die 1927 erschienene Arbeit von Peter und Weyl (F. d. M. 53, 387 (JFM 53.0387.*)) und die 1929 erschienene Arbeit von E. Cartan (F. d. M. \(59_{\text{II}}\), 1029) an.
Gegeben sei eine kompakte Liesche Gruppe \(\sigma \) und eine Punktmannigfaltigkeit \(\pi \) sowie eine Realisation von \(\sigma \) durch umkehrbar eindeutige Transformationen \(s\) in \(\pi \), die einen Punkt \(P\) von \(\varPi \) in \(sP\) überführen. \(P,Q,\dotsc \) bezeichnen Punkte von \(\varPi \), \(s,t,\dots \) Elemente der Gruppe. \(\sigma \) soll in \(\varPi \) transitiv sein, so daß alle \(P\) in bezug auf \(\sigma \) äquivalent sind. Eine gegebene Funktion \(f(P)\) werde durch \(s\) in \(sf=f(s^{-1}P)\) übergeführt. \(\varphi _1(P),\dotsc,\varphi _h(P)\) seien in \(\varPi \) linear unabhängige Funktionen. Sie heißen bezüglich \(\sigma \) invariant, wenn für \(\mu =1,2,\dotsc,h\) gilt: \[ s\varphi _\mu (P)=\sum \limits _{\nu =1}^hu_{\nu \mu }(s)\cdot \varphi _\nu (P), \] \(U(s)=\|u_{\mu \nu }(s)\|\) ist dann eine Darstellung der Gruppe \(\sigma \). Die Folge \(\varphi _1,\cdots,\varphi _h\) ist primitiv, wenn \(U\) irreduzibel ist. Verf. beweist nun ohne die Annahme, daß \(\varPi \) eine Metrik hat (vgl. die genannte Arbeit von Cartan), daß die primitiven invarianten Folgen ein vollständiges Orthogonalsystems in \(II\) bilden.
Hierzu wird, in ähnlicher Weise wie in den erwähnten Arbeiten, die E. Schmidtsche Theorie der Paare von Integralgleichungen \[ \psi (s)=\int \limits _Pf(s^{-1}P)\varphi (P), \] \[ \varphi (P)=\int \limits _s\overline f(s^{-1}P)\psi (s) \] herangezogen.

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