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Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. (German) JFM 58.0929.06
262 S. Berlin, J. Springer. (Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen, Bd. XXXVIII) (1932).
Das vorliegende Werk ist neben Diracs Principles of quantum mechanics (1935; F.d.M. \(61_{\text{I}}\), 935) das bedeutendste über die theoretischen Grundlagen der Quantenmechanik. Wo bei Dirac mit genialem Griff eine fingierte \(\delta \)-Funktion die Überführung eines Differentialoperators in einen Integraloperator, also \[ \begin{aligned} H\left (q_1,\dots,q_k,\frac {h}{i} \frac {\partial }{\partial q_1},\dots,\frac {h}{i} \frac {\partial }{\partial q_k}\right )& \varphi (q_1,\dots,q_k)\\ = \int & \underset \Omega \cdots \int h(q_1,\dots,q_k, q'_1,\dots,q'_k) \varphi (q'_1,\dots,q'_k)dq'_1\dots dq'_k \end{aligned} \] erzwingt und dadurch die Wellengleichung \[ H\varphi (q_1,\dots,q_k) = \lambda \varphi (q_1,\dots,q_k) \] auf die Form \[ \int \underset \Omega \cdots \int h(q_1,\dots,q_k,q'_1,\dots,q'_k)\varphi (q'_1,\dots,q'_k) dq'_1\dots dq'_k = \lambda \varphi (q_1,\dots,q_k) \] bringt, welche der Matrizeneigenwertgleichung (im Raum \(Z\)) \[ \sum _\nu h_{\mu \nu } x_{\nu } = \lambda x_{\mu } \] äquivalent ist, wird beim Verf. die Gleichwertigkeit der Wellenmechanik mit der Matrizenmechanik in mathematisch strenger Weise begründet: Es ist nicht möglich, eine Beziehung zwischen dem Raum \(Z\) der Matrizenmechanik (\(Z\) ist der diskrete Raum der Indexwerte \(\mu,\;\nu \)) und dem kontinuierlichen Zustandsraum \(\Omega \) des mechnischen Systems (\(\Omega \) ist \(k\)-dimensional) in mathematisch einwandfreier Weise herzustellen. Darauf kommt es aber gar nicht an. Wesentlich ist nur die Isomorphie der Funktionengesamtheiten \(F_z\) (Elemente \(x_\nu \)) bzw. \(F_\Omega \) (Elemente \(\varphi (q_1,\dots,q_k)\)) nach Fischer und F. Riesz. Man untersucht also die von der speziellen Einkleidung \(F_2\) oder \(F_\Omega \) unabhängigen inneren Eigenschaften des Hilbertschen Raumes.
Inhalt: I. Einleitende Betrachtungen: Wellenmechanik, Matrizenmechanik, Transformationstheorie, Hilbert-Raum (H.R.). II. Abstrakter H.R.: Charakterisierung des H.R., Geometrie des H.R., abgeschlossene Linearmannigfaltigkeiten, Operatoren im H.R., Eigenwertproblem, eindeutige Lösbarkeit, vertauschbare Operatoren, Spur. III. Quantenmechanische Statistik: Statistische Deutung der Quantenmechanik, Meßbarkeit, Unbestimmtheitsrelation, Projektionsoperatoren, Lichttheorie. IV. Deduktiver Aufbau der Theorie: Prinzipielle Begründung der statistischen Theorie, Experimente. V. Allgemeine Betrachtungen: Messung und Reversibilität, thermodynamische Betrachtungen (Übertragung der Gibbsschen Methoden auf die Quantenmechanik), Reversibilitäts- und Gleichgewichtsfragen, makroskopische Messung. VI. Der Meßprozeß: Formulierung des Problems, zusammengesetzte Systeme, Diskussion des Meßprozeß. Anmerkungen. Besprechung: J.D.Tamarkin, Amer. Math. Monthly 42 (1935), 237-239.

Full Text: EuDML