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Moderne Algebra. Bd. II. Unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether. (German) JFM 57.0153.03
Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Bd. 24. Berlin: J. Springer, vii, 216 S. (1931).
Hatte der erste Band des Werks (1930; JFM 56.0138.01) die allgemeinen Grundlagen zum Inhalt, so behandelt der zweite, der hier besprochen wird, die tieferen Erkenntnisse der modernen Algebra, wobei die allgemeine Idealtheorie und die Theorie der hyperkomplexen Systeme im Vordergrunde stehen. Naturgemäß hat der zweite Band in der Vielfalt seines Inhaltes nicht die geschlossene Form, die den ersten Band ihm gegenüber auszeichnet; aber auch in stilistischer Beziehung hat der erste Band einen bedeutenden Vorzug. Freilich soll sich dieses Urteil lediglich auf die Betrachtung der Teile des Werks, nicht etwa auf die des Werks als Ganzes beziehen, das ja heute, zur Zeit der Niederschrift dieser Besprechung, unwidersprochen als das Standardwerk der modernen Algebra in der ganzen mathematischen Welt angesehen wird. Der genaue Inhalt der einzelnen Kapitel wird noch im Folgenden näher geschildert werden; für den gesamten Band sind noch die zahlreichen Aufgaben erwähnenswert, die eine wertvolle Ergänzung für den Leser bedeuten, da ja nur die Lösung von Aufgaben die Beherrschung des nicht gerade leichten Stoffs sichern kann, vor allem aber auch die Literaturhinweise, die ein weitergehendes Eindringen in die große Fülle der modernen Ergebnisse ermöglichen.
Das elfte Kapitel, das erste des zweiten Bandes, ist der Eliminationstheorie gewidmet, also der Theorie, die die Antwort auf das Problem der Lösung mehrerer algebraischer Gleichungen in mehreren Unbestimmten geben soll. Ausgehend von dem einfachsten Falle zweier Polynome in einer Veränderlichen, für den das Verhalten der Resultante entscheidend ist, behandelt der erste Teil dieses Kapitels das Resultantensystem für mehrere Polynome in einer Veränderlichen. Es folgt dann die allgemeine Eliminationstheorie, eine genaue Schilderung der Methode der sukzessiven Elimination der Unbestimmten. Im Mittelpunkte der Theorie steht der Hilbertsche Nullstellensatz und seine Erweiterung. Danach folgt die genaue Behandlung eines homogenen Gleichungssystems, für dessen Lösbarkeit ein Kriterium in Gestalt eines Resultantensystems besteht, das sich im Falle von \(n\) Gleichungen in \(n\) Unbestimmten mit Hilfe des Begriffes der Trägheitsform besonders vereinfacht. Den Beschluß macht der für die algebraische Geometrie besonders wichtige Satz von Bézout.
Kap. XII hat die allgemeine Idealtheorie der kommutativen Ringe zum Inhalte. Durchweg wird dabei die Existenz einer endlichen Basis für die Ideale des betrachteten Ringes vorausgesetzt. Am Anfang steht der Hilbertsche Satz, daß für jeden Polynombereich in endlich vielen Unbestimmten der Basissatz gilt, falls er im Grundring erfüllt ist. Vor allem aber werden die verschiedenen Formulierungen des Basissatzes, die Teilerkettensätze, als gleichwertige Forderungen erkannt. Es folgen dann die formalen Hilfsmittel, die Definitionen des größten gemeinschaftlichen Teilers, des kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen von Idealen, die fundamentalen Begriffe des Primideals und des Primärideals. Die Eigenschaften der Primärideale werden hergeleitet, wobei aus axiomatischen Gründen genau unterschieden wird in Dinge, die nur mit Hilfe des Teilerkettensatzes, und solche, die auch ohne diese Forderung hergeleitet werden können. Der allgemeine Zerlegungssatz, daß unter Voraussetzung des Teilerkettensatzes jedes Ideal als Durchschnitt von endlich vielen Primäridealen dargestellt werden kann, der zweite Zerlegungssatz von der unverkürzbaren Darstellbarkeit leiten dann zu den wichtigsten Ergebnissen der allgemeinen kommutativen Idealtheorie, den Eindeutigkeitssätzen, über. Die zusätzliche Forderung der Existenz des Einselements im Ring erlaubt die Einführung des Begriffs teilerfremder Ideale, der verschärfende Aussagen über multiplikative Zerlegung von Idealen gestattet; weiter gibt diese Forderung den Begriff des einartigen (primären) Ideals, eines Primärideals mit teilerlosem zugehörigen Primideal, und damit den Satz von der eindeutigen Darstellung eines Ideals als Produkt teilerfremder einartiger Primärideale für Ringe, in denen der Teilerkettensatz gilt und jedes Primideal teilerlos ist.
Kap. XIII, die Theorie der Polynomideale, ist eine gleichzeitige Anwendung der beiden vorangehenden Kapitel. Die Grundlage der Theorie ist der Integritätsbereich der Polynome in \(n\) Unbestimmten über einem kommutativen Körper. Der durch die Menge der Nullstellen eines Polynomsystems entstehende Begriff der algebraischen Mannigfaltigkeit wird mit der Idealtheorie im Polynombereiche in eine enge Verbindung gebracht, wodurch sich die Ergebnisse der Idealtheorie sofort auf algebraische Mannigfaltigkeiten übertragen. Die Frage der Darstellbarkeit algebraischer Mannigfaltigkeiten als algebraischer Funktionen von Parametern verlangt eine Untersuchung über algebraische Funktionen; mit ihrer Hilfe kann dann das Problem der Parameterdarstellung für irreduzible Mannigfaltigkeiten (die Primidealen entsprechen) gelöst werden. Diese Untersuchung führt weiter auf den fundamentalen Begriff der Dimensionszahl eines Primideals, allgemeiner eines beliebigen Polynomideals. Die Zerlegungs- und Eindeutigkeitssätze der Idealtheorie führen ohne weiteres, da die Mannigfaltigkeit eines Primärideals gleich der des zugehörigen Primideals ist, zu Zerlegungs- und Eindeutigkeitssätzen für beliebige algebraische Mannigfaltigkeiten. Für nulldimensionale Ideale folgt weiterhin der Noethersche Fundamentalsatz, der in seinen Spezialisierungen zu zahlreichen Anwendungen führt; durch Zurückführung der mehrdimensionalen Ideale auf nulldimensionale werden diese Resultate über nulldimensionale Ideale soweit möglich auf allgemeinere Ideale übertragen. Schließlich folgen noch Sätze über ungemischte Ideale und Multiplizitätsfragen der algebraischen Geometrie.
Das vierzehnte Kapitel, das ganze algebraische Größen behandelt, gibt eine Darstellung der Dedekindschen Idealtheorie in moderner axiomatischer Auffassung. Das wichtigste Fundament dafür ist der Satz von der Endlichkeit jedes Untermoduls eines endlichen Moduls. In der axiomatischen Behandlung ist die Grundlage ein endlicher \(\mathfrak R\)-Modul, d. i. ein endlichgliedriger Modul über einem beliebigen Ringe \(\mathfrak R\); damit der eben erwähnte Satz gilt, müssen an den Ring gewisse Forderungen gestellt werden. Ist nun \(\mathfrak R\) ein Unterring eines Ringes \(\mathfrak T\), so heißt ein Element von \(\mathfrak T\) ganz algebraisch in bezug auf \(\mathfrak R\), wenn alle Potenzen dieses Elementes einem endlichen \(\mathfrak R\)-Modul angehören. Gilt in \(\mathfrak R\) der Teilerkettensatz für Linksideale, so geht diese Definition in die klassische Definition der ganzen algebraischen Größe über. Dadurch wird über \(\mathfrak R\) in \(\mathfrak T\) ein Ring ganzer Größen definiert, von dem nun noch Abgeschlossenheit in \(\mathfrak T\) verlangt wird. Wann diese Eigenschaft erfüllt ist, wird durch einige Kriterien festgelegt. Eine besondere Untersuchung über die ganzen Größen eines Körpers leitet dann über zu dem axiomatischen Aufbau der klassischen Idealtheorie in einem Integritätsbereiche. Es zeigt sich, daß zu diesem Aufbau die drei Forderungen: (1) Teilerkettensatz für Ideale, (2) Teilerlosigkeit der vom Nullideal verschiedenen Primideale, (3) Ganzabgeschlossenheit des Integritätsbereiches in seinem Quotientenkörper notwendig und hinreichend sind. Zum Schluß wird noch die Idealtheorie in Integritätsbereichen behandelt, die wohl die Forderungen (1) und (3), aber nicht (2) erfüllen. Damit ist ein vollständiger Überblick über die Idealtheorie der Integritätsbereiche erzielt, da die Folgerungen, die sich aus diesen (teilweise oder vollständig gestellten) Forderungen ergeben, genau bekannt sind.
Als Grundlage zu den letzten beiden Kapiteln des Bandes bringt Kap. XV die lineare Algebra über einem beliebigen Ringe. Die Darstellung stützt sich hauptsächlich auf die Theorie der Gruppen mit Operatoren und wird dadurch besonders einfach gegenüber andern Darstellungen, die ihrerseits aber vielleicht den Vorzug leichterer Durchsichtigkeit besitzen. Im Anfang stehen die Begriffe des Linearformenmoduls über einem Ringe mit Einselement, die lineare Abbildung und die formalen Sätze der Theorie der Vektoren und Matrizen. Auf einen kurzen Abschnitt über lineare Gleichungen folgt die Elementarteilertheorie der Matrizen über Hauptidealringen, die gleichzeitig zum Beweise des Hauptsatzes über abelsche Gruppen mit endlich vielen Erzeugenden benutzt wird; dieser Satz ist ja dem Elementarteilersatz äquivalent. Hieran schließt sich zwanglos die Einführung der Begriffe Darstellung und zugehöriger Darstellungsmodul, die für das letzte Kapitel besonders wichtig sind. Den Schluß dieses Kapitels machen die Resultate der Matrizentheorie im kommutativen Körper aus, also die Normalformensätze, die Sätze über die charakteristische Funktion einer Matrix, schließlich die Ergebnisse der Theorie der quadratischen und Hermiteschen Formen.
Kap. XVI behandelt die Theorie der hyperkomplexen Systeme der Algebren endlichen Ranges über einem kommutativen Körper. Da diese Systeme die Maximal- und Minimalbedingung, d. h. den Teilerkettensatz und den Vielfachkettensatz für einseitige und zweiseitige Ideale erfüllen, so kann die Untersuchung in natürlicher Verallgemeinerung auf Ringe ausgedehnt werden, die diese Maximal- und Minimalbedingung etwa in voller Schärfe oder auch nur teilweise (allein für Linksideale) erfüllen. Welche Bedeutung diese Forderungen haben, wird hier an zahlreichen Bemerkungen näher erläutert. Nach einer genaueren Untersuchung nilpotenter Ideale kann als erstes Ergebnis der Hauptsatz über die Struktur halbeinfacher Ringe, die die Minimalbedingung für Linksideale erfüllen, hergeleitet werden. Es folgen weiter Untersuchungen über zweiseitige Zerlegungen und die Struktur des Zentrums eines Ringes. Die genaue Betrachtung der Struktur des Automorphismenringes eines vollständig reduziblen Moduls dient als wichtige Vorbereitung zu dem Nachweise der fundamentalen Struktureigenschaften der vollständig reduziblen Ringe mit Einselement. Der Schluß des Kapitels behandelt noch speziell für hyperkomplexe Systeme das Produkt zweier solcher Systeme und das wichtige Problem der Erweiterung des Grundkörpers.
Kap. XVII hat die Darstellungstheorie der Gruppen und hyperkomplexen Systeme zum Inhalt. Durch Übergang von der endlichen Gruppe zum Gruppenring kann die Theorie in voller Allgemeinheit ohne gesonderte Betrachtungen durchgeführt werden. Aus allgemeinen Struktursätzen folgen in einfacher Weise die Fundamentalsätze über die Darstellungen halbeinfacher Systeme, die vollständige Reduzibilität dieser Darstellungen, der Satz über die reguläre Darstellung. Die Untersuchung der Darstellungen in algebraisch-abgeschlossenen Körpern hat in der Hauptsache den Satz von Burnside und seine Verallgemeinerung durch Frobenius und I. Schur zum Inhalt. Durch Einführung des Begriffes des Charakters einer Darstellung gelangt man zu dem Satze der (im wesentlichen) eindeutigen Bestimmtheit einer vollständig reduziblen Darstellung eines hyperkomplexen Systems in einem Körper der Charakteristik Null. Es folgt dann noch in genauerer Ausführung die Darstellungstheorie der endlichen Gruppen; insbesondere wird auf einem von J. v. Neumann stammenden Wege die Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppe hergeleitet. Zum Schlusse kommen noch einige Anwendungen der Darstellungstheorie auf die Theorie der nichtkommutativen Körper zur Besprechung, insbesondere der Satz von Wedderburn über endliche Körper. (III 3, 7).
Besprechungen: J. v. Neumann; Acta Szeged 5 (1932), 259-260. D.; Nieuw Archief (2) 17 (1932), 187-188. B. Levi; Bollettino U. M. I. 10 (1931), 239-243. O. Ore; Bulletin A. M. S. 38 (1932), 327-329. O. Taussky; Monatshefte f. Math. 40 (1933), 3-4 kursiv. T. Skolem; Norsk Mat. Tidsskrift 14 (1932), 101-102. U. Wegner; Z. f. math. Unterricht 63 (1932), 249-250.

MSC:
13-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to commutative algebra
14-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to algebraic geometry
15-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to linear algebra
20-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to group theory
00A05 Mathematics in general