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Topology. (English) JFM 56.0491.08
Das vorliegende Buch ist eine einheitliche Darstellung desjenigen Teilgebietes der Topologie, das von den Homologierelationen endlicher oder unendlicher Komplexe beherrscht wird, wobei insbesondere die Frage nach der algebraischen Anzahl der Fixpunkte oder Übereinstimmungspunkte von Abbildungen oder Abbildungspaaren von Mannigfaltigkeiten, Komplexen und schließlich auch von kompakten metrischen Räumen von Interesse ist.
Wenn auch die Schlußweisen und Rechenverfahren der elementaren Topologie der Homologiecharaktere in ihren wesentlichen Zügen festgelegt sind, bringt Verf. doch schon im ersten Kapitel (Elementary combinatorial theory of complexes) einen wesentlich neuen Gesichtspunkt zur Geltung, der sich dann im folgenden als sehr fruchtbar erweist. Es ist dies die Anwendung der (in der mengentheoretischen Topologie seit langem üblichen) Relativbegriffe auf die kombinatorische Topologie, die hier durch das Rechnen mit Linearformenmoduln eine eigenartige Wendung erfahren. Sind nämlich simpliziale oder konvexe Zellen als offene Mengen, ein aus ihnen aufgebauter Komplex \(K\) dagegen als abgeschlossenes Gebilde definiert, so erhält man die Homologiecharaktere von \(K\), die Bettischen Zahlen (die hier, wie wegen der schwankenden Terminologie erwähnt sei, als die Ränge der Homologieklassengruppen definiert werden) und die Torsionskoeffizienten, indem man aus dem Modul der aus den Zellen einer bestimmten Dimension von \(K\) mit ganzzahligen Koeffizienten oder ganzzahligen Koeffizienten mod \(m\) (\(m > 1\), ganz) gebildeten Linearformen – Ketten (chains) genannt – durch die Berandungsrelationen in \(K\) den Modul aller Zyklen und den der berandenden Zyklen aussondert und die Invarianten des Restklassenmoduls des erstgenannten Zyklenmoduls nach dem zweiten aufsucht. Ist nun \(L\) ein abgeschlossener Teilkomplex von \(K\), so kann man statt dessen auch Ketten und deren Ränder betrachten, soweit sie in \(K - L\) liegen, also Relativketten, Relativzyklen usw. auf \(K - L\). Algebraisch bedeutet das, daß man in dem Restklassenmodul der Ketten von \(K\) nach den Ketten von \(L\) rechnet; deshalb werden diese Relativgebilde auch als Ketten, Zyklen usw. “auf \(K\) mod \(L\)” bezeichnet. Es ist klar, daß der formale Kalkül der Moduln für diese neuen Gebilde genau so durchgeführt werden kann wie für absolute Ketten und Ketten mod \(m\) auf \(K\). Man erhält so außer den absoluten Homologiecharakteren und denen mod \(m\) auf \(K\) noch die Homologiecharaktere von \(K\) mod \(L\) und mod \((L, m)\). Die bekannten Zusammenhänge zwischen den absolut und mod \(m\) genommenen Homologiecharakteren (Alexander, Transactions A. M. S. 28 (1926), 301-329; F. d. M. 52) gelten auch mod \(L\) und mod \((L, m)\), ebenso die Euler-Poincarésche Formel. Diejenigen Komplexe, die bei Fragen der Orientierbarkeit eine Rolle spielen, die “circuits”, können durch ihre Bettischen Zahlen, absolut und mod \(2\) genommen, charakterisiert werden, womit der Zugang zu diesen Gebilden auch für die Theorie mod \(L\) gegeben ist. Die Invarianz der Homologiecharaktere mod \(L\) gegenüber speziellen Unterteilungen von \(K\), insbesondere gegen reguläre (d. h. baryzentrische) Unterteilung, kann leicht bewiesen werden.
Der Beweis der topologischen Invarianz wird in Kap. II (Topological invariance of the homology characters) im Anschluß an Alexander (Transactions A. M. S. 16 (1915), 148-154; F. d. M. 45, 728 (JFM 45.0728.*)-729) geführt, indem singuläre Ketten und ihre topologischen Homologiecharaktere, deren Invarianz unmittelbar aus der Definition folgt, eingeführt und deren Übereinstimmung mit den kombinatorischen Homologiecharakteren durch einen Deformationssatz nachgewiesen wird. Die Homologiecharaktere mod \(L\) erweisen sich als invariant nicht nur gegenüber topologischen Abbildungen von \(K\), sondern auch gegenüber topologischen Abbildungen von \(K - L\); dabei braucht \(L\) nicht einmal als Teilkomplex von \(K\), sondern nur als abgeschlossene und lokal zusammenhängende Menge vorausgesetzt zu werden (\(L\) heißt lokal zusammenhängend, wenn für jede Dimension \(p\) zu jedem \(\varepsilon\) ein \(\delta (\varepsilon, p)\) existiert, so daß jede \(p\)-dimensionale Sphäre von \(L\), deren Durchmesser kleiner als \(\delta\) ist, in \(L\) ein \((p + 1)\)-dimensionales Element berandet, dessen Durchmesser kleiner als \( \varepsilon\) ist). Aus der Invarianz der Homologiecharaktere wird die der Dimensionszahl und des Gebietes, ferner die Invarianz des circuit und – etwas umständlicher – auch die des einfachen circuit (der Pseudomannigfaltigkeit im Sinne von L. E. J. Brouwer) abgeleitet. Nach Durchführung der Invarianzbeweise werden die kombinatorisch nicht faßbaren simplizialen und konvexen Zellen und ihre Randsphären durch andere “kombinatorische” Zellen und Sphären ersetzt, die nach Alexander und van Kampen durch ihre Bettischen Zahlen, die mit denen der gewöhnlichen Zellen und Sphären übereinstimmen sollen, bestimmt sind (van Kampen, Die kombinatorische Topologie und die Dualitätssätze; 1929, F. d. M. 55\(_{\text{II}}\)); natürlich werden auch hier die mod \(L\) genommenen Bettischen Zahlen benutzt. Da jedoch für die Theorie der Mannigfaltigkeiten die Existenz einer regulären Unterteilung wesentlich ist, müssen die kombinatorischen Zellen als “normal” angenommen werden, d. h. eine Zelle soll aus der Verbindung eines Punktes mit ihrer (kombinatorischen) Randsphäre bestehen; die aus solchen Zellen aufgebauten normalen kombinatorischen Komplexe werden den weiteren Untersuchungen zugrunde gelegt.
In Kap. III (Manifolds and their duality theorems) werden Mannigfaltigkeiten mod \(L\), wie üblich, rekursiv definiert: Die einzige \(M_{-1}\) (der untere Index bezeichnet die Dimension) ist die leere Menge; \(K - L\) ist eine \(M_n\), wenn der Rand jeder Zelle \(E_p\) eine absolute \(M_{p-1}\) ist, und wenn der “Umschlingungskomplex” (linked complex) jeder \(E_p\) eine Sphäre \(H_{n-p-1}\) mod \(L\) ist. (Die treffende Bezeichnung “linked complex” \(Lk(E_p)\) gebraucht Verf. für den Rand des Transversalkomplexes (transverse complex \(Tv(Ep)\)), der aus allen Zellen der regulären Unterteilung von \(K-L\) besteht, die \(E_p\) in genau einem Punkte treffen.) – Der Vergleich der Inzidenzmatrizen zweier dualer Zelleneinteilungen der \(M^n\), der zum Beweis des Poincaréschen Dualitätssatzes führt, liefert nun im Bereich der Relativbegriffe einen Dualitätssatz von großer Allgemeinheit: \(K\) sei ein Komplex, \(L\) ein Teilkomplex von \(K\), \(L^1\) ein Teilkomplex von \(L\), \(L^2 = L - L^1\), und \(K - L\) sei eine \(n\)-dimensionale Mannigfaltigkeit; dann gilt \[ R_p(K-L^1;L^2) = R_{n-p}(K-L^2;L^1), \quad \varTheta_i^p(K-L^1;L^2) = \varTheta_i^{n-p-1}(K-L^2,L^1), \] wobei z. B. \(R_p(K - L^1; L^2\)) und \(\varTheta_i^p(K-L^1;L^2)\) die \(p\)-dimensionale Bettische Zahl und die \(p\)-dimensionalen Torsionskoeffizienten von \(K - L^1\) mod \(L^2\) bezeichnen. Ein entsprechendes Resultat gilt auch mod \(m\). \(L = L^1 = L^2 = 0\) liefert den Poincaréschen Dualitätssatz, \(L= L^1\), \(L^2 = 0\) sein Analogon mod \(L\). Nimmt man in diesem letzten Fall für \(K\) die \(n\)-dimensionale Sphäre, und setzt man \(L\neq 0\) voraus, so ergibt sich leicht der Alexandersche Dualitätssatz. Als Anwendung erhält man Zerlegungssätze für die Sphäre. -Anschließend werden noch weitere Homologieinvarianten definiert, z. B. die von Verf. schon in einer früheren Arbeit (Transactions A. M. S. 29 (1927), 429-462; F. d. M. 53, 552 (JFM 53.0552.*)-553) benutzten Ränge der Gruppen der Zyklen in \(K - L\), die keinem Zyklus auf \(L\) homolog sind; für die so definierten Bettischen Zahlen besteht ein Dualitätssatz, während der Dualitätssatz für Torsionskoeffizienten nicht mehr gilt. – Die topologische Invarianz der Mannigfaltigkeit wird auf dem Wege über den Satz von van Kampen bewiesen, der besagt, daß \(K - L\) durch die Existenz von beliebig kleinen Umgebungen, die \(n\)-dimensionale Zellen sind, in jedem Punkte als Mannigfaltigkeit charakterisiert ist.
In Kap. IV (Intersections of chains on a manifold) wird die Theorie der Schnitte von Ketten auf einer Mannigfaltigkeit dargestellt, und zwar, abweichend von der u. a. denselben Gegenstand behandelnden Arbeit des Verf. (Transactions A. M. S. 28 (1926), 1-29; F. d. M. 52) und in Übereinstimmung mit Veblen (Transactions A. M. S. 25 (1924), 540-550; F. d. M. 50, 657 (JFM 50.0657.*)-658), unter Benutzung der dualen Unterteilung. Bei der Übertragung der Theorie von polyedralen auf beliebige in \(K\) eingebettete Ketten, die naturgemäß unter der Voraussetzung, daß die Ränder der beiden Ketten in \(K - L\) zueinander fremd sind, durchgeführt wird, führt Verf. einen neuen Begriff ein: Die Homologie mod \(L\) “um eine abgeschlossene Menge \(A\)” (about \(A\)), d. h. in einem bestimmten Sinn: Homologie in der Nähe von \(A\). Alle polyedralen Ketten, auf sukzessiven Unterteilungen von \(K\), die aus einer singulären Kette \(C_p\) durch hinreichend kleine Deformationen hervorgehen, sind homolog um \(C_p\). Diese Begriffsbildung ermöglicht nun insofern eine feinere Untersuchung der Schnitte zweier singulärer Ketten, als aus jeder einzelnen Komponente des Schnittes zweier singulärer Ketten bei der Approximation eine Familie von um die Schnittkomponente homologen Schnittzyklen entsteht, so daß die einzelnen Komponenten isoliert werden können und insbesondere bei geeigneter Dimensionszahl der sich schneidenden Ketten jeder einzelnen Komponente des Schnittgebildes ein Kroneckerscher Index zugeordnet werden kann. Die Schnittzyklen sind topologisch invariant. – Als Verallgemeinerung der Verschlingungszahlen von Zyklen im euklidischen \(S_n\) oder einer Sphäre \(H_n\), die ja durch den Kroneckerschen Index des einen Zyklus mit einer von dem anderen Zyklus berandeten Kette definiert werden können, führt Verf. für den Fall, daß für die Dimensionszahlen \(p, q\) der beiden Zyklen nicht gerade \(p + q = n + 1\) ist, die “Verschlingungszyklen” ein. – Die Verschlingungszahlen können zu einer Definition der Schnittgebilde verwandt werden, bei der eine fortgesetzte Unterteilung von \(K\) nicht erforderlich ist: Die Ketten \(C_p\) und \(C_q\) schneiden den Umschlingungskomplex \(Lk(E_s)\) einer Zelle \(E_s\), \(s = p + q - n\), in Zyklen, die eine bestimmte Verschlingungszahl haben; das Schnittgebilde besteht aus der Summe der \(E_s\) mit diesen Verschlingungszahlen als Koeffizienten. -Die Kroneckerschen Indices der Schnittgebilde der Zyklenbasen führen zu Invarianten der Mannigfaltigkeit, die Tensorcharakter haben (Alexander).
Die Eigenschaften von Produktkomplexen und -mannigfaltigkeiten werden unter Berücksichtigung der Relativbegriffe in Kap. V (Product complexes) dargestellt.
Kap. VI (Transformations of manifolds, their coincidences and fixed points), das zusammen mit dem folgenden Kapitel wohl den interessantesten Teil des Buches ausmacht, bringt die Theorie der Abbildungen von Mannigfaltigkeiten, wie sie ohne Benutzung der Relativbegriffe von Verf. in zwei Arbeiten (Transactions A. M. S. 28 (1926), 1-29; Proceedings USA Academy 12 (1926), 737-739; F. d. M. 52) entwickelt worden ist. Es handelt sich um die Bestimmung der algebraischen Anzahl der Übereinstimmungspunkte zweier Abbildungen \(T^1, T^2\) einer Mannigfaltigkeit \(M_n\) auf eine \(M_n'\), speziell, wenn \(M_n = M_n'\) und \(T^2\) die identische Abbildung ist, um die Fixpunkte von \(T^1\). Die allgemeine Methode besteht darin, mit Hilfe der Schnitttheorie, angewendet auf die Zyklenbasen, eine Aussage über das Vorhandensein von Schnittpunkten der die Abbildungen darstellenden Mengen \(M_n \times T^1(M_n)\) und \(M_n \times T^2(M_n)\) im Produktraum \(M_n\times M_n'\) zu machen. Um die Schnitttheorie anwenden zu können, muß man wissen, daß die Begrenzungen der Zyklen, die, wenn \(M_n = K - L\), \(M_n' = K' - L'\) gesetzt wird, in \(K\times K'\) auf \[ \varLambda = K\times L' + L\times K' \] liegen, zueinander fremd sind. Dazu macht Verf. die folgenden Voraussetzungen: \(L^1, L^{\prime 1}\) seien abgeschlossene Teilkomplexe von \(L\) bzw. \(L'\) und \(L^2 = L- L^1\), \(L^{\prime 2} = L' {L'}^1\); es sei entweder \[ \varLambda^1 = K\times L^{\prime 1} + L^1\times K', \;\varLambda^2 = \varLambda - \varLambda^1 \tag{"(a)"} \] oder – unter Spezialisierung von (a) - \[ \Lambda^1 = K\times L', \;\Lambda^2 = \Lambda - \Lambda^1 \tag{"(b)"} \] oder \[ \Lambda^2 = L\times K', \;\Lambda^1 = \Lambda - \Lambda^2. \tag{"(c)"} \] Die Abbildungen sollen dann durch, je einen Zyklus \(\varGamma_n^i\) mod \(\Lambda^i\) in \(K\times K' - \Lambda^j\) (\(i\neq j\)) repräsentiert werden, und alle \(M\)-dimensionalen Zyklen auf \(\varGamma_n^i\) sollen (im Sinne der Homologie mit Division) homolog sein den Vielfachen eines Zyklus mod \(\Lambda^i\) auf \(K\times K' - \Lambda^j\). Außerdem wird zur Vereinfachung angenommen, daß \(M\) und \(M'\) zusammenhängend sind, und daß \(\overline{K - L} = K, \overline{K' - L'} = K'\) ist (Überstreichen bezeichnet die Bildung der abgeschlossenen Hülle). – Sind \(a_s^i\), \(b_{n-s}^j\) duale Zyklenbasen auf \(K-L^2\) mod \(L^1\) und \(K - L^1\) mod \(L^2\) im Falle (a), auf \(K - L\) und \(K\) mod \(L\) in den Fällen (b) und (c), entsprechend \(a_s^{\prime i}\), \(b_{n-s}^{\prime j}\) für die gestrichenen Komplexe, so wird in \(K\times K' - \Lambda^j\) mod \(\Lambda^i\) \[ \varGamma_n^1 \approx \sum \varepsilon_{ij}^sa_s^i\times b_{n-s}^{\prime j}, \;\varGamma_n^2 \approx \sum \eta_{ij}^sb_s^i\times a_{n-s}^{\prime j} \] (\(\approx\) bezeichnet Homologie mit Division), und der Kroneckersche Index, der die algebraische Anzahl der Übereinstimmungspunkte bestimmt, wird \[ \left(\varGamma_n^1\cdot\varGamma_n^2\right) = \sum (-1)^{n(s+1)} \;\text{ Spur }\{\eta^{n-s}\beta^s(\varepsilon^s)'\alpha^s\}, \] wobei \(\eta^{n-s} = (\eta_{ij}^{n-s})\), \((\varepsilon^s)'\) die Transponierte von \(\varepsilon^s = (\varepsilon_{ij}^s)\) ist und \(\alpha^s\) und \(\beta^s\) die Matrizen der Kroneckerschen Indices \(\alpha_{ij}^s = (a_s^i\cdot b_{n-s}^j)\) bzw. \(\beta_{ij}^s = (a_s^{\prime i}\cdot b_{n-s}^{\prime j})\) bedeuten. Die Aufgabe besteht nun darin, die Matrizen \(\varepsilon^s\), \(\eta^s\) irgendwie durch die von den Abbildungen erzeugten Zyklentransformationen \[ T^1(b_p^h) \approx \sum f_{hj}^p{b'}_p^j, \quad T^2(a_p^h) \approx \sum g_{hj}^p{a'}_p^j, \] die als durch die Abbildungen gegeben anzusehen sind, auszudrücken. Das geschieht im wesentlichen wie in den genannten Arbeiten des Verf., unter Benutzung von Überlegungen von H. Hopf (Proceedings USA Academy 14 (1928), 149-153; F. d. M. 54, 610 (JFM 54.0610.*)), und führt für Mannigfaltigkeiten zu der allgemeinen Formel \[ \left(\varGamma_n^1\cdot\varGamma_n^2\right) = \sum (-1)^{n-p} \;\text{ Spur }\{(\alpha^p)^{-1}\mathfrak{g}^p\beta^p(f^{n-p})'\}, \] in der die früher vom Verf. abgeleiteten Formeln als Spezialfälle enthalten sind. Durch Spezialisieren ergeben sich daraus auch die Fixpunktformeln. – Zu den betrachteten Abbildungen gehören insbesondere auch die eindeutigen stetigen Abbildungen. Die Matrizen \(\varepsilon^s\), \(\eta^s\) bleiben unverändert, wenn man \(T^1, T^2\) durch Abbildungen ersetzt, denen zu \(\varGamma_n^1\), \(\varGamma_n^2\) homologe Zyklen entsprechen, die also zu derselben “Homologieklasse” gehören. Unter den Invarianten dieser Matrizen kommt insbesondere auch der Brouwersche Abbildungsgrad vor, und die Brouwerschen Abbildunsgklassen stellen eine Unterteilung der Homologieklassen dar.
Für eindeutige stetige Abbildungen hat H. Hopf die Gültigkeit der Lefschetzschen Fixpunktformel auch für beliebige Komplexe nachgewiesen (vgl. die schon genannte Note und M. Z. 29 (1929), 493-524; F. d. M. 55\(_{\text{II}}\)). Verf. führt hier, und zwar für den Fall der Übereinstimmungspunkte zweier Abbildungen, die Übertragung seiner Resultate auf beliebige Komplexe im Anschluß an zwei eigene Arbeiten (C. R. 190 (1930), 99-100; Annals of Math. (2) 31 (1930), 271-280; F. d. M. 56\(_{\text{I}}\), 502) durch, indem er die Komplexe \(K, K'\) in absolute orientierbare Mannigfaltigkeiten genügend hoher Dimension einbettet; dabei ist es zweckmäßig, anzunehmen, daß die Dimensionen \(r, r'\) der einbettenden Mannigfaltigkeiten \(\mathfrak{K}, \mathfrak{K}'\) die Dimensionen \(n, n'\) von \(K, K'\) um eine gerade Zahl übertreffen. (Diese Annahme hat den Zweck, die Formeln für das Verhalten der noch zu definierenden Pseudozyklen in den Schnitt- und Produktformeln bei Vertauschungen genau dein der Zyklen von Mannigfaltigkeiten anzupassen.) Ist \(a_p^i\) eine \(p\)-dimensionale Zyklenbasis in \(K\), so läßt sich eine Familie von \((r - p)\)-dimensionalen Ketten von \(K\), deren Rand zu \(K\) fremd ist, und die vorgeschriebene Schnittzahlen mit der \(a_p^i\) haben, bestimmen, so daß die Differenz zweier Ketten einer Familie zu einer zu \(K\) fremden Kette homolog ist. Diese Kettenfamilien, im wesentlichen aus den Zyklen von \(\mathfrak{K}\) mod \(\mathfrak{K} - K\) bestehend, werden als die \((n - p)\)-dimensionalen Pseudozyklen \(b_{n-p}\) von \(K\) bezeichnet. Für Kombinationen von Zyklen und Pseudozyklen lassen sich Homologien (mit Division), Schnitte und Produkte definieren; im Produktraum werden auch die Produkte \(a_p\times b_{q+n'-r'}'\) und \(b_{p+n-r}\times a_q'\) als Pseudozyklen bezeichnet. Es zeigt sich, daß für die Bettischen Zahlen der zueinander dualen Zyklen und Pseudozyklen dieselben Dualitätssätze gelten wie für Mannigfaltigkeiten. Auch im Bereich der Relativbegriffe ist eine solche Übertragung noch möglich. Damit ist der formale Apparat zum Beweis der allgemeinen Formel für die algebraische Anzahl der Übereinstimmungspunkte gegeben, die mit der oben angegebenen Formel genau gleich lautet. Es ist nur noch einiges über die Annahmen zu sagen, die für die Abbildungen \(T^1, T^2\) gemacht werden müssen. Es werden nämlich Erweiterungen \(\mathfrak{T}^1\), \(\mathfrak{T}^2\) der Abbildungen \(T^1, T^2\) auf ganz \(\mathfrak{K}\) benutzt, und zwar insbesondere “Kontraktionen”, die eine gewisse Umgebung von \(K\) in vorgeschriebener Weise auf das Bild des Randes von \(K\) abbilden, und “Expansionen”, die sich in der Nähe von \(K\) verhalten wie die Umkehrung einer Kontraktion. Es wird vorausgesetzt, daß jede der Abbildungen \(T^i\) eine Erweiterung besitzt, die im Produktraum durch eine im wesentlichen eindeutig bestimmte \(r\)-dimensionale Kette repräsentiert wird, und daß diese Kette wieder im wesentlichen eindeutig einen \(n\)-dimensionalen Pseudozyklus vom Typus \(a\times b'\) oder \(b\times a'\) als Repräsentanten von \(T^i\) bestimmt. Für die eine der Erweiterungen benutzt man zweckmäßig eine Kontraktion, für die andere eine Expansion. -Im Falle der Fixpunktformel einer eindeutigen Abbildung können die Pseudozyklen durch Zyklen ersetzt werden, und die Überlegungen führen genau zu den Ergebnissen von H. Hopf.
Die bisher gewonnenen Ergebnisse werden in Kap. VII (Infinite complexes and their applications) auf Komplexe, die aus abzählbar unendlich vielen Zellen aufgebaut sind, und durch Approximation auf kompakte metrische Räume übertragen. Die Komplexe werden als normal vorausgesetzt; jedes Simplex hat endliche Dimension; innerhalb des Komplexes braucht die Dimensionszahl aber nicht beschränkt zu sein. Wo es zweckmäßig ist, wird von der Einbettung in den Hilbertschen Raum Gebrauch gemacht; jedoch ist die Benutzung dieses Hilfsmittels nicht wesentlich. Ketten werden von vornherein mit rationalen, nicht notwendig ganzzahligen Koeffizienten gebildet; deshalb kommt auch nur die Homologie mit Division zur Anwendung, und die Torsionen fallen weg. Ein Deformationssatz liefert die Äquivalenz von topologischen und kombinatorischen Homologiecharakteren und damit die topologische Invarianz der letzten. Dadurch lassen sich die Definitionen des circuit und der Orientierbarkeit, infolge der Existenz der regulären Unterteilung auch die der Mannigfaltigkeit übertragen.
Ein unendlicher Komplex \(K\) ist lokal kompakt; durch Einführung idealer Elemente, die durch Folgen ineinandergeschachtelter Gebiete mit leerem Durchschnitt definiert werden, wird er kompakt. Neben diesen abgeschlossenen idealen Elementen kann man auch offene ideale Elemente als Komplemente der abgeschlossenen in dem alle idealen Elemente umfassenden idealen Element \(\Lambda\) definieren. Die Relativbegriffe erweisen sich nun als wichtiges Hilfsmittel in der Theorie der unendlichen Komplexe; man kann nämlich für ein ideales Element \(L\) Ketten, Zyklen, Homologien usw. mod \(L\) definieren, und zwar geschieht das – je nachdem ob \(L\) abgeschlossen oder offen ist – auf zwei verschiedene Arten. \(L^1\) sei ein durch die Gebietsfolge \(\{N^i\}\) definiertes abgeschlossenes ideales Element, \(L^2 = \Lambda - L^1\), und es sei \(K^i = K - N^i\). Eine Kette \(C_p\) liegt auf \(K L^2\), wenn sie auf jedem \(K^i\) nur endlich viele Zellen besitzt; sie liegt auf \(K - L^1\), wenn sie auf wenigstens einem \(K^i\) liegt. Eine Kette \(C_p\) auf \(K- L^i\) ist ein Zyklus mod \(L^j\) (\(j\neq i\)), wenn sie keinen Rand hat. Die Homologie \(C_p \approx 0\) mod \(L^1\) auf \(K - L^2\) bedeutet, daß es für jedes \(i\) eine Kette \(C_{p+1}^i\) auf \(K - L^2\) und eine Kette \(C_p^i\) auf \(\overline{N}^i\) gibt, so daß \(C_{p+1}^i\) von \(C_p - C_p^i\) berandet wird. \(C_p \approx 0\) mod \(L^2\) auf \(K- L^1\) bedeutet die Existenz von wenigstens einem \(K^i\), für den, wenn \(\Lambda^i\) seine vollständige ideale Menge ist, \(C_p \approx 0\) mod \(\Lambda^i\) auf \(K^i\) gilt.
Die Zyklenbasen in einem unendlichen \(K\) brauchen natürlich nicht endlich zu sein. Ist durch eine Darstellung \[ C_p\approx \sum t_iC_p^i \] (die Wahl des Nullmoduls dieser Homologie bleibt vorläufig offen) jedes \(C_p\) als endliche Summe darstellbar, so heißt die Basis \(C_p^i\), semifinit, andernfalls total infinit. Läßt sich die Basis als Doppelfolge \(C_p^{ij}\) ordnen, so daß in der Darstellung \[ C_p\approx \sum t_{ij}C_p^{ij} \] zwar ein Index, etwa \(j\), unendlich oft, der andere, \(i\), aber für alle \(C_p\) nur endlich oft auftritt, so ist die Basis semiinfinit von der ersten oder zweiten Art, je nachdem ob \(i\) unabhängig von \(j\) beschränkt ist oder nicht. In jedem der in Betracht kommenden Fälle ist die Existenz einer Zyklenbasis von einem dieser Typen gesichert. – In der Theorie der Produktkomplexe läßt sich die Bestimmung der Zyklenbasis formal wie im endlichen Falle durchführen.
Für Mannigfaltigkeiten ist die Dimension der höchstdimensionalen Simplexe fest. Zur Übertragung der Ergebnisse für endliche Mannigfaltigkeiten auf den Fall unendlicher Mannigfaltigkeiten ist eine andere Anordnung der Beweise zweckmäßig. Es werden zuerst die Schnitteigenschaften der Zyklen, immer unter Benutzung dualer Zyklen auf \(K - L^1\) mod \(L^2\) und \(K - L^2\) mod \(L^1\) untersucht; insbesondere läßt sich der Poincaré-Veblensche Satz über die Möglichkeit der Wahl dualer Zyklenbasen, für die die Matrix der Kroneckerschen Indices die Einheitsmatrix wird, beweisen. Dieser Satz liefert dann durch die Zuordnung zwischen dualen Zyklenbasen unmittelbar den allgemeinen Dualitätssatz genau in der für endliche Mannigfaltigkeiten gültigen Form; bei unendlichen Bettischen Zahlen besteht die Relation in der Aussage, daß die Typen der dualen Zyklenbasen durch die Dualitätsforderung in bestimmter Weise einander zugeordnet sind. Auch der bei endlichen Mannigfaltigkeiten erwähnte Lefschetzsche Dualitätssatz für die Zyklen von \(K - L\), die keinem Zyklus auf \(L\) homolog sind, gilt noch. Alle Sätze bleiben richtig, wenn man die idealen Elemente \(L^i\) um Teilkomplexe von \(K\) vermehrt, deren ideale Elemente den \(L^i\) angehören. Die Ableitung der Formel für die Übereinstimmungspunkte von Abbildungen läßt sich jetzt wörtlich wiederholen. – Eine erste wichtige Anwendung der Theorie der unendlichen Mannigfaltigkeiten besteht darin, daß eine kompakte abgeschlossene Menge \(L\) einer endlichen Mannigfaltigkeit als die Menge der idealen Elemente einer unendlichen Mannigfaltigkeit gedeutet werden kann, so daß also die früher für Teilkomplexe \(L\) eines endlichen \(K\) abgeleiteten Sätze auch für kompakte abgeschlossene Teilmengen \(L\) von \(K\) gelten.
Ein kompakter metrischer Raum \(L\) läßt sich nach Alexandroff (Math. Ann. 96 (1926), 488-511; C. R. 190 (1930), 1102-1104; F. d. M. 52; 56\(_{\text{I}}\), 502) auf Grund des Borel-Lebesgueschen Zerlegungssatzes durch eine Folge von Komplexen, in der eine simpliziale Abbildung eines jeden Komplexes auf den vorhergehenden definiert ist, approximieren. Wenn man nun die Abbildungen durch Verbindungsstrecken vom Punkt zum Bildpunkt ersetzt, so wird der Raum jetzt zur Menge der idealen Elemente des so entstehenden unendlichen Komplexes \(K\). Den Zyklen und Homologien auf \(L\) entsprechen Zyklen und Homologien der um 1 höheren Dimension auf \(K\) mod \(\varPhi\), wenn \(\varPhi\) den ersten Komplex in der Folge der approximierenden Komplexe bezeichnet. – Für abgeschlossene Mengen auf einer Sphäre liefert die Theorie der unendlichen Komplexe unmittelbar den Alexanderschen Dualitätssatz und den Jordan-Brouwerschen Satz über die Zerlegung der \(H_n\) durch \((n - 1)\)-dimensionale (absolute) circuits. Für in den euklidischen \(S_n\) eingebettete abgeschlossene Mengen lassen sich wieder Pseudozyklen definieren, die den Dualitätssätzen genügen. Die Theorie der Abbildungen von abgeschlossenen Mengen im euklidischen Raum oder von kompakten metrischen Räumen, die in den Hilbertschen Raum eingebettet sind, folgt genau dem Weg, auf dem Verf. die Abbildungstheorie der Mannigfaltigkeiten auf endliche Komplexe übertragen hat. Die Forderung der Existenz einer solchen Erweiterung der Abbildung auf den einbettenden Raum, die eine Kontraktion oder Expansion ist und einer Endlichkeitsbedingung genügen muß, bedeutet eine einschneidende Forderung für die zulässigen Abbildungen. Der lokale Zusammenhang der Menge ist jedenfalls bei eindeutigen Abbildungen hinreichend für die Existenz der endlichen Kontraktion, so daß die Gültigkeit der Fixpunktformel für diesen Fall ohne weiteres gesichert ist.
Im letzten Kapitel (Applications to analytical and algebraic varieties) werden die topologischen Begriffe in die Sprache der analytischen Mannigfaltigkeiten übersetzt; insbesondere ist hier die topologische Schnitttheorie von Wichtigkeit (vgl. B. L. van der Waerden, Math. Ann. 102 (1929), 337-362; F. d. M. 55\(_{\text{II}}\)). Ferner wird die Bedeutung der Homologieinvarianten für algebraische Mannigfaltigkeiten erläutert.
Durch zahlreiche Bemerkungen über die geschichtliche Entwicklung der Probleme und Vergleich mit auf anderem Wege hergeleiteten Resultaten wird die in dem Buch dargestellte, in sich geschlossene Theorie in Zusammenhang gebracht mit dem weiten Gebiet verwandter Forschungen. – Das Literaturverzeichnis ist sehr ausführlich; der Index am Schlüsse des Bandes enthält alle wesentlichen Begriffe.
Besprechungen: Nature 127 (1931), 370. H. Kneser; Jahresbericht D. M. V. 42 (1932), 50-52 kursiv. S. L.; Bulletin Sc. math. (2) 55 (1931), 33-35. M. H. A. N.; Math. Gazette 16 (1932), 352-353. J. Nielsen; Mat, Tidsskrift B 1932, 43-48. P. A. Smith; Bulletin A. M. S. 37 (1931), 645-648. L. Vietoris; Monatshefte f. Math. 39 (1932), 17-19 kursiv.