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Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen. (German) JFM 56.0180.05
Diese umfang- und inhaltreiche Abhandlung umfaßt zwei Hauptteile: “Über transzendente Zahlen” und “Über diophantische Gleichungen”. Bindeglied zwischen beiden ist die gemeinsame Methode, die in der Anwendung diophantischer Approximationen besteht.
Die Grundgedanken dieser Methode werden in einer ausführlichen Einleitung vorangestellt. Während man nach dem Dirichletschen Schubfachschluß leicht angeben kann, wie genau sich mindestens die Zahl 0 durch ein lineares Kompositum \[ L=h_0\,\omega_0+\dots +h_r\omega_r \] gegebener Zahlen \(\omega_0, \ldots, \omega_r\) approximieren läßt, wenn die Koeffizienten \(h_0, \ldots, h_r\) nicht sämtlich verschwindende ganze rationale Zahlen sein dürfen, die absolut sämtlich höchstens gleich \(H\) sind, nämlich \[ |\,L\,|\le \frac{|\,\omega_0\,|+\dots +|\,\omega_r\,|}{H^r}, \] hängt jede nichttriviale Antwort auf die Frage, wie genau dies höchstens der Fall sein kann, also jede nichttriviale untere Abschätzung der sog. Näherungsform \(L\), von den arithmetischen Eigenschaften der gegebenen Zahlen \(\omega_0\), …, \(\omega_r\) ab.
Auf eine solche untere Abschätzung einer Näherungsform läuft sowohl jeder Transzendenzbeweis hinaus: \[ L=h_0+h_1\,\omega+\dots +h_r\,\omega^r, \] als auch läßt sich darauf das Problem der oberen Abschätzung der Anzahl der auf einer algebraischen Kurve gelegenen Gitterpunkte zurückführen.
Der Verf. entwickelt nun eine allgemeine Methode, wie man arithmetische Näherungsformen \(L\) gewinnen kann, ausgehend von algebraischen Näherungsformen \[ L(x)=h_0(x) \omega_0(x)+\ldots +h_r(x) \omega_r(x) \] für Potenzreihen \(\omega_0(x), \ldots, \omega_r(x)\) und mit Polynomkoeffizienten \(h_0(x), \ldots, h_r(x)\).
Annäherung von \(L(x)\) an 0 ist im Sinne der Bewertung an der Stelle \(x=0\) verstanden, d. h. \(L(x)\) heißt, um so kleiner, von je höherer Ordnung es bei \(x=0\) verschwindet.
Beim Übergang von einer algebraischen Näherungsform zu einer arithmetischen Näherungsform durch Einsetzen eines speziellen Wertes \(x=\xi\) sind zwei Punkte zu beachten. Erstens können bei der Spezialisierung \(x=\xi\) die Koeffizienten alle 0 werden, so daß überhaupt, keine Näherungsform entsteht, und zweitens entspricht der besten algebraischen Näherung im allgemeinen nicht die beste arithmetische. Der Verf. entwickelt nun eine allgemeine Methode, wie man unter der Annahme eines linearen Differentialgleichungssystems erster Ordnung für die \(\omega_0(x)\), …, \(\omega_r(x)\), von einer algebraischen Näherungsform und ihren Ableitungen ausgehend, zu einer brauchbaren arithmetischen Näherungsform gelangen kann. Für das zu schließende Kompromiß zwischen der besten algebraischen und der besten arithmetischen Näherung benutzt er einen Hilfssatz über lineare homogene Gleichungen, der auch an sich von Interesse ist:
Die Koeffizienten eines linearen homogenen Gleichungssystems von \(m\) Gleichungen für \(n>m\) Unbekannte seien ganzrational und absolut nicht größer als \(A\). Dann besitzt das System eine nichtidentische Lösung in ganzrationalen Zahlen, die sämtlich kleiner sind als \[ 1+(nA)^{\frac{m}{n-m}}. \] Der Beweis erfolgt durch einen mehrdimensionalen Schubfachschluß.
Der erste Teil wendet diese Methoden an, um zunächst die Transzendenz der Besselschen Funktion \(J_0(x)\) für algebraische Werte \(\xi\neq 0\) des Arguments \(x\) zu beweisen. Die algebraische Grundlage für diesen Beweis ist die Tatsache, daß für zwei linear unabhängige Lösungen \(y_1\), \(y_2\) der Besselschen Differentialgleichung \[ x^2y''+xy'+(x^2-\lambda^2)\,y=0 \] zwischen \(y_1\), \(y'_1\), \(y_2\) und \(x\) keine algebraische Gleichung mit konstanten Koeffizienten besteht, wenn \(\lambda\) nicht die Hälfte einer ungeraden Zahl ist. Diese Tatsache wird in §1 auf zwei Arten, einmal rein analytisch, das anderemal durch Eingehen auf das arithmetische Verhalten der Koeffizienten der Potenzreihen für \(y_1\) und \(y_2\) bewiesen. Am Schluß von §1 und in §2 wird sodann von hier aus der Übergang zu einer arithmetischen Näherungsform nach den Prinzipien der Einleitung vollzogen. §3 bringt dann die Transzendenz von \(J_0(x)\) für algebraisches \(\xi\neq 0\) und darüber hinaus die algebraische Unabhängigkeit der beiden Zahlen \(J_0(\xi)\) und \(J'_0(\xi)\) für algebraisches \(\xi\neq 0\), sowie die (noch nicht bestmöglich durchgeführte) untere Abschätzung \[ |\,g\bigl(J_0\,(\xi),\,J'_0(\xi)\bigr)> \frac{c}{G^{123p^2m^3}}, \] wo \(m\) der Grad von \(\xi\), \(p\) die Dimension des Polynoms \(g\ne 0\), \(G\) das absolute Maximum der ganzrationalen Koeffizienten von \(g\), und \(c>0\) eine nur von \(\xi\) und \(p\) abhängige Konstante ist.
In §4 werden eine große Reihe von weiteren Anwendungen der Methode auf Transzendenzprobleme entwickelt, deren Resultate nachstehend aufgezählt werden.
(I) Für rationale \(\lambda\neq-1\), \(-2\), …und \(2\lambda\neq\pm1\), \(\pm3\), …ist auch \[ K_\lambda\,(\xi)=\varGamma(\lambda+1)\, \frac{\xi}{2}^{-\lambda}J_\lambda\,(\xi) \] für algebraisches \(\xi\neq0\) algebraisch unabhängig von \(K_\lambda^\prime(\xi)\), also insbesondere transszendent. Insbesondere sind daher die von 0 verschiedenen Nullstellen von \(J_\lambda(x)\) für (beliebige) rationale \(\lambda\) stets transzendent.
Der Kettenbruch \[ i\frac{J_{\lambda-1}\,(2i\xi)}{J_\lambda\,(2i\xi)}= \frac{\lambda}{\xi}+ \frac {1}{ \frac{\lambda+1}{\xi}+\frac {1}{ \frac{\lambda+2}{\xi}+\cdots}} \] ist für rationale \(\lambda\) und algebraisches \(\xi\ne 0\) transzendent. Speziell ist \[ r_1+\frac{1}{ r_2+\frac{1}{r_3+\cdots}} \] für jede arithmetische Reihe erster Ordnung \(r_1\), \(r_2\), \(r_3\), …aus rationalen Zahlen transzendent.
(II) Die beiden Funktionen \(J_\lambda(x)\) mid \(J_{\lambda+n}(x)\) haben für \(n = 2\), 3, …keine gemeinsame Nullstelle \(\neq0\), falls \(\lambda\) rational ist und für ganzzahliges \(\lambda\) der Wert \(n=-2\lambda\) ausgelassen wird.
(III) Die normierte Lösung von \(xy'+(\lambda-x)y-\lambda=0\): \[ y_0=1+\frac{x}{\lambda+1}+ \frac{x^2}{(\lambda+1)(\lambda+2)}+\cdots \] ist für jedes rationale \(\lambda\neq-1\), \(-2\), …und algebraisches \(\xi\neq0\) transzendent. Die Nullstellen von \[ \textstyle \int\limits_{0}^{1} \displaystyle t^{\lambda-1}e^{-tx}\,dt \] sind für rationales (positives) \(\lambda\) transzendent, was insbesondere (\(\lambda = 1\)) die Transzendenz von \(\pi \) und (\(x = 1\)) die Irrationalität der Nullstellen der “unvollständigen Gammafunktion” \[ \int_{0}^{1} t^{x-1}e^{-t}\,dt \] enthält. Die Funktion \[ \int\limits_{0}^{x} e^{-t^\lambda}\,dt \] ist für rationale \(\lambda\) und algebraisches \(\xi\ne 0\) transzendent.
(IV) Entsprechende Resultate wie für \(J_0(x)\) ergeben sich für die Lösung \[ y=\frac{\varkappa }{\lambda}\frac{\varkappa }{1\,!}+ \frac{\varkappa +1}{\lambda+1}\frac{x^2}{2\,!}+\cdots= \int_{0}^{1}t^{\varkappa -1}(1-t)^{\lambda-\varkappa -1} e^{tx}\,dt:\int\limits_{0}^{1}t^{\varkappa -1} (1-t)^{\lambda-\varkappa -1}\,dt \] von \(xy'' + (y - x)y' - \varkappa y = 0\).
(V) Verallgemeinerung des Resultats über \(J_0(s)\) (enthaltend auch den Lindemannschen Satz): Es seien \(\alpha_1\), …, \(\alpha_n\) voneinander verschiedene algebraische Zahlen und \(\xi\neq0\) eine algebraische Zahl. Ferner seien \(P_1\, \ldots, P_n\) Polynome \(\ne 0\) mit algebraischen Koeffizienten. Dann ist \[ P_1\,\bigl(J_0\,(\xi),J'_0(\xi)\bigr)\, e^{\alpha_1}+\dots +P_n\,\bigl(J_0\,(\xi), J'_0(\xi)\bigr)\,e^{\alpha_n}\neq0. \] Anders ausgedrückt: Zwischen \(J_0(\xi)\), \(J'_0(\xi)\) und Werten von \(e^x\) für algebraisches \(x\) besteht keine nichttriviale algebraische Relation; speziell ist \(J_0(\xi)\) von \(e\) algebraisch unabhängig.
Untere Abschätzungen von Näherungsformen für \(e\) und \(\pi \): \[ |\,g(e)\,|>\frac{c}{G^{n+\varepsilon}},\;\; |\,g(\pi )\,|>\frac{c}{G^{G^\varepsilon}}, \] wo \(G\) das absolute Maximum der ganzrationalen Koeffizienten des Polynoms \(g\), \(n\) der Grad von \(g\), \(\varepsilon>0\) beliebig, und \(c\) nur von \(n\) und \(\varepsilon\) abhängig ist.
(VI) Andere Verallgemeinerung des Resultats über \(J_0(x)\): Es seien \(\lambda_1, \ldots, \lambda_m\) rationale Zahlen; keine der Zahlen \(2\lambda_k\) sei ungerade, keine der Summen und Differenzen \(\lambda_k\pm\lambda'_k\) (\(k \neq k' \)) sei ganz. Es seien \(\xi_1^2\), …, \(\xi_n^2\) voneinander und von 0 verschiedene algebraische Zahlen. Dann sind die \(2mn\) Zahlen \(K_{\lambda_k}(\xi_l)\), \(K_{\lambda_k}^\prime(\xi_l)\) algebraisch unabhängig.
(VII) Für Potenzreihen mit endlichem Konvergenzradius führt die Methode des Verf. zwar nicht mehr zu Transzendenzsätzen, aber in vielen Fällen wenigstens zu Irrationalitätssätzen mit unterer Abschätzung des Irrationalitätsgrades. Der Verf. gibt eine Reihe derartiger Anwendungen auf Abelsche Integrale und deren Perioden.
(VIII) Über den Lindemannschen Satz hinausgehend beweist er schließlich: In der Zahlenfolge \[ \frac{\log\,2}{\log\,3}, \frac{\log\,3}{\log\,4},\ldots \] treten beliebig hohe Irrationalitäten auf. -
Während der erste Teil durch die Fülle seiner Resultate und die zahlreichen Ausblicke auf eine Weiterentwicklung an Hand der geschaffenen Methoden eine in die Zukunft weisende epochemachende Bedeutung hat, liegt die Größe des zweiten Teils darin, daß hier für eine in voller Allgemeinheit gestellte Hauptfrage über diophantische Gleichungen eine abschließende Antwort gefunden wird, und zwar in einer durch ihre Einfachheit und Natürlichkeit bestechenden Form.
Es handelt sich um die Frage: Unter welchen Bedingungen kann eine irreduzible binäre diophantische Gleichung \(f(x,y) = 0\) mit algebraischen Koeffizienten unendlich viele Lösungen \(x\), \(y\) mit beschränktem Nennervorrat (sogenannte ganzartige Lösungen) in irgendeinem algebraischen Zahlkörper (endlichen Grades) haben?
Die Antwort wird in drei Formen gegeben, die leicht als miteinander äquivalent zu erweisen sind. Jede der drei folgenden Bedingungen ist notwendig und hinreichend :
(1) Der Gleichung \(f(x,y)=0\) läßt sich identisch durch zwei rationale (nicht konstante) Funktionen genügen, die höchstens bei 0 und \(\infty \) Pole haben, die also von der besonderen Gestalt sind: \[ \begin{aligned} &x=P(t)=a_nt^n+a_{n-1}t^{n-1}+\dots +a_{-n+1}t^{-n+1}+ a_{-n}t^{-n},\\ &y=Q(t)=b_nt^n+b_{n-1}t^{n-1}+\dots +b_{-n+1}t^{-n+1}+ b_{-n}t^{-n}.\end{aligned} \]
(2) Die Gleichung \(f(x,y)=0\) läßt sich entweder in \(u = 0\) oder in \(ut=1\) überführen, und zwar durch eine derartige birationale Transformation, bei der alle ganzartigen \(x\), \(y\) mit allen ganzartigen \(u\), \(t\) verknüpft sind.
(3) Die zu \(f(x,y)=0\) gehörige Riemannsche Fläche hat das Geschlecht 0 und besitzt höchstens zwei Unendlichkeitsstellen von \(|\, x\, | + |\, y\, |\).
Die Bedingungen (1) und (2) sind von der Art, daß man ihr Hinreichen ohne weiteres sieht, indem man nämlich ganze Zahlen bzw. algebraische Einheiten für die Unbestimmten \(t\), \(u\) einsetzt. Insbesondere besagt (2), daß die Fälle mit unendlich vielen ganzartigen Lösungen sich sämtlich aus den beiden bekannten Typen der linearen Gleichungen und der indefiniten quadratischen Gleichungen durch einfache Transformationen herleiten lassen.
Die Größe des Kriteriums liegt in seiner Notwendigkeit, die, anders gewendet, besagt: Von den angegebenen einfachen und lange bekannten Fällen und ihren trivialen Transformationen abgesehen, hat jede binäre diophantische Gleichung mit algebraischen Koeffizienten höchstens endlich viele ganzartige Lösungen.
Als Anwendung auf den Hibertschen Irreduzibilitätssatz spricht der Verf. noch den folgenden Satz aus: Ein Polynom \(P(w;x,y,\dots )\) mit ganzen algebraischen Koeffizienten ist dann und nur dann in einem geeigneten algebraischen Zahlkörper für unendlich viele ganzartige Werte von \(w\) reduzibel, wenn es durch eine Substitution der Form \[ w=\alpha_nt^n+\dots +\alpha_{-n}t^{-n} \] identisch in \(t\) reduzibel wird.
Nachdem in § 1 der Fall des Geschlechts \(p = 0\), in dem allein die genannten Ausnahmefälle eintreten, abgehandelt ist, bringt § 2 eine Darlegung der vor einiger Zeit entwickelten Theorie von A. Weil [Acta Math. 52, 281–315 (1929; JFM 55.0713.01)] die den Zusammenhang zwischen den Idealen eines algebraischen Funktionenkörpers (mit algebraischen Koeffizienten) und den durch Einsetzung entstehenden arithmetischen Idealen behandelt. Diese Theorie liefert auch den für das zu beweisende Kriterium grundlegenden Satz von \(A. Weil\), daß für \(p>0\) die in einem algebraischen Zahlkörper \(\mathfrak K\) rationalen Systeme von je \(p\) Lösungen \(x\), \(y\) (d. h. für die alle symmetrischen Funktionen mit Koeffizienten aus \(\mathfrak K\) zu \(\mathfrak K\) gehören) einen Modul mit endlicher Basis bilden.
In § 3 wird sodann der Fall \(p=1\) abgehandelt, in dem das Resultat bereits durch L. J. Mordell [Proc. Camb. Philos. Soc. 21, 179–192 (1922; JFM 48.1156.03)] bekannt und im wesentlichen mit denselben Mitteln bewiesen war. Es ist die Uniformisierung durch elliptische Funktionen und die Kombination der \(n\)-Teilung ihrer Perioden für \(n\to\infty \) mit A. Weils Endlichkeitssatz, die hier zu einer hinreichend guten Approximation einer algebraischen Zahl führt, aus der dann mittels der bekannten unteren Abschätzung der besten Approximation durch den Thue-Siegelschen Satz ein Widerspruch zu der gemachten Annahme unendlich vieler ganzartiger Lösungen konstruiert wird.
Eine genaue Verallgemeinerung dieses Gedankengangs führt auch für höheres Geschlecht \(p\) zum Ziel. Hier tritt die Uniformisierung der symmetrischen Funktionen der Gruppen von je \(p\) Lösungen durch allgemeine Abelsche Funktionen an die Stelle der Uniformisierung durch elliptische Funktionen. In § 4 wird alles aus der Theorie der Abelschen Funktionen, insbesondere ihrer Teilungstheorie, Benötigte entwickelt, und in §§ 5, 6 dann die Approximationsmethode angesetzt und durchgeführt.
Die Methode erfordert übrigens für \(p>0\) zum Ansatz des indirekten Beweises lediglich die Annahme, daß unendlich viele Lösungen mit ganzartigem \(x\) vorhanden sind, so daß das Resultat etwas allgemeiner besagt, daß bei unendlich vielen Lösungen notwendig sowohl der Nenner von \(x\) als auch der von \(y\) unbeschränkt ist.
Der Beweis ergibt implicite auch eine endliche obere Schranke für die Anzahl der Lösungen, sofern keiner der Ausnahmetypen vorliegt. Eine Schranke für die Lösungen selbst ergibt sich allerdings nicht. Jedoch stellt der Verf. in § 7 noch Untersuchungen in dieser Richtung an, die sich mit dem Spezialfall der binären kubischen Gleichungen befassen.
B. Delaunay [C. R. 171, 336–338 (1920; JFM 47.0119.01); 172, 434–436 (1921; JFM 48.1156.02)] und T. Nagell [Math. Z. 28, 10–29 (1928; JFM 54.0174.02)] haben gezeigt, daß für eine binäre kubische Form \(f(x, y)\) mit ganzrationalen Koeffizienten und negativer Diskriminante die diophantische Gleichung \(f(x, y)=1\) höchstens fünf ganzrationale Lösungen \(x\), \(y\) hat. Der Verf. beweist, daß für positive hinreichend hohe Diskriminante die diophantische Gleichung \(f(x, y)=k\) höchstens 18 ganzrationale Lösungen \(x\), \(y\) besitzt.
Anhangsweise vermerkt er noch, daß die diophantische Gleichung \[ ax^n-by^n=k \] für festes \(n\ge 3\) höchstens eine Lösung in natürlichen \(x\), \(y\) besitzt, falls \(|\,ab\,|\) hinreichend groß ist.

MSC:
11Jxx Diophantine approximation, transcendental number theory
11Dxx Diophantine equations
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