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Über die topologische Erweiterung von Räumen. (German) JFM 55.0963.01
Ist \(\tau\) eine Kardinalzahl, so bedeute \(R_\tau\) den folgenden (im Hausdorffschen Sinne) topologischen Raum: Jeder Ordnungszahl \(\alpha< \omega_\tau\) (\(\omega_\tau\) kleinste Ordnungszahl der Mächtigkeit \(\tau\)) sei ein Exemplar \(\mathfrak I_\alpha\) der abgeschlossenen Einheitsstrecke \(0\leqq t_\alpha\leqq 1\) zugeordnet; Punkt von \(R_\tau\) soll jedes System \(x=(t_1,t_2,\ldots,t_\alpha, \ldots)\) sein; Umgebung eines Punktes \(x_0\) ist jede Menge von Punkten \(x\), für die endlich viele Koordinaten \(t_{\alpha_1},t_{\alpha_2},\ldots,t_{\alpha_k}\) auf Umgebungen (im Sinne von \(\mathfrak I_\alpha\)) der entsprechenden Koordinaten von \(t_{\alpha_k}\) beschränkt und die übrigen \(t_\alpha\) beliebig sind.
Der Raum \(R_\tau\) ist bikompakt. Für \(\tau=\aleph_0\) ist \(R_\tau\) dem Fundamentalquader des Hilbertschen Raums homöomorph. Verf. zeigt nun, daß jeder normale topologische Raum, der ein Umgebungssystem von einer Mächtigkeit \({}\leqq\tau\) besitzt, einer Teilmenge des \(R_\tau\) homöomorph ist. Zum Beweis führt Verf. den Begriff des vollständig regulären topologischen Raumes ein: So heißt ein Raum \(R\), wenn es zu jedem Punkt \(x_0\) und jeder \(x_0\) nicht enthaltenden abgeschlossenen Menge \(A\) eine in ganz \(R\) stetige Funktion \(f(x)\), \(0\leqq f(x)\leqq 1\), gibt, so daß \(f(x_0)=0\), \(f(a)=1\) für alle \(a\in A\) gilt. Es wird dann gezeigt: Jede Teilmenge eines bikompakten Raumes – also insbesondere jede Teilmenge von \(R_\tau\) – ist vollständig regulär, und jeder vollständig reguläre Raum, der ein Umgebungssystem von der Mächtigkeit \(\tau\) besitzt, ist einer Teilmenge des \(R_\tau\) homöomorph.
Zum Begriff des vollständig regulären Raumes ist zu bemerken: Jeder normale Raum ist vollständig regulär, und jeder vollständig reguläre Raum ist regulär; keine dieser beiden Aussagen ist umkehrbar, wie durch Beispiele gezeigt wird. Übrigens liefert eines der Beispiele eine negative Antwort auf die von Alexandroff und Urysohn (Math. Ann. 92 (1924), 258-266; F. d. M. 50, 128) aufgeworfene Frage, ob jeder reguläre nicht absolut abgeschlossene Raum durch Hinzufügen eines nicht isolierten Punktes zu einem ebenfalls regulären Raum erweitert werden könne.
Unter Heranziehung einer Zerlegung des \(R_\tau\) (im Sinne von Alexandroff, Math. Ann. 96 (1926), 555-571, § 3; F. d. M. 52) zeigt Verf. schließlich: Jeder topologische Raum \(R\) ist einer Teilmenge eines absolut abgeschlossenen Raumes homöomorph, der ein Umgebungssystem von der gleichen Mächtigkeit wie ein gegebenes Umgebungssystem von \(R\) besitzt; dieser absolut abgeschlossene Raum wird als ein durch eine Zerlegung des \(R_\tau\) bestimmter Raum hergestellt.

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References:
[1] Siehe vor allem Alexandroff und Urysohn, Zur Theorie der topologischen Räume, Math. Annalen92 (1924), S. 258, und Alexandroff, Über stetige Abbildungen kompakter Räume, Math. Annalen96 (1926), S. 555; die Kenntnis dieser Arbeit (insbesondere auch die dort gebrauchte Terminologie) wird im folgenden vorausgesetzt; die erste dieser Arbeiten wird kurz durch ”Alexandroff-Urysohn”, die zweite durch ”Alexandroff” zitiert. Wegen ausführlicher Darstellung der erwähnten Untersuchungen möge insbesondere auf ”Mémoire sur les espaces compacts” (Verh. K. Akademie Amsterdam, Deel XIV, No. 1 (1929)) derselben Verfasser hingewiesen sein. · JFM 50.0128.06 · doi:10.1007/BF01448008
[2] Alexandroff - Urysohn, Zur Theorie der topologischen Räume, Math. Annalen92 (1924), S. 261.
[3] Siehe Uryshohn, Zum Metrisationsproblem, Math. Annalen94 (1925), S. 309, wo auch andere Arbeiten über denselben Gegenstand angegeben sind. · JFM 51.0453.01 · doi:10.1007/BF01208661
[4] Siehe Urysohn, Der Hilbertsche Raum..., Math. Annalen92 (1924), S. 302. · JFM 50.0128.05 · doi:10.1007/BF01448012
[5] Diese Definition rührt von Urysohn her. Vgl. seine Arbeit: Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen, Math. Annalen94 (1925), S. 292.
[6] Alexandroff, Math. Annalen96 (1926), S. 557 (§4).
[7] Alexandroff und Urysohn, Zur Theorie der topologischen Räume, Math. Annalen92 (1924), S. 263, Satz V.
[8] Im Sinne von Alexandroff, Math. Annalen96 (1926), § 3 (S. 556–557). Es sei hier ausdrücklich erwähnt, daß wir (der Alexandroffschen Definition entsprechend) beliebige allgemeine und nicht notwendig etwa stetige Zerlegungen betrachten.
[9] Aus dem Satze II und dem unter 13) zitierten Satz von Alexandroff folgt vielmehr, daß unsere Zerlegung nur dann stetig sein kann, wenn der gegebene Raum regulär ist.
[10] Alexandroff, a. a. O. § 3,, S. 537.
[11] Alexandroff und Urysohn, Zur Theorie der topologischen Räume, Math. Annalen92 (1924), S. 262, Satz II.
[12] Alexandroff a. a. O. § 3,Math. Annalen96 (1926), S. 537.
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