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Invarianz des Gebietes in Funktionalräumen. (German) JFM 55.0242.02
Es ist bekannt, daß der Satz von der Gebietsinvarianz sogar für lineare, eineindeutige, stetige Abbildungen des Hilbertschen Raumes nicht allgemein gültig ist. Es wird sich also darum handeln, durch weitere Voraussetzungen die Menge der Räume und der Abbildungen soweit einzuschränken, daß dieser Satz seine Gültigkeit behält.
Verf. behandelt vollständige, normierte, lineare Räume im Sinne von Banach (1922; F. d. M. 48, 201 (JFM 48.0201.*)-202), die ferner als schwachkompakt und mit einer linearen Basis versehen (vgl. J. Schauder, 1927; F. d. M. 53, 374 (JFM 53.0374.*)-376) angenommen werden. In einem solchen Raum \(L\) gilt der folgende Satz:
Die Operation \(U (x)\) liefere eine eineindeutige Abbildung des im Raume \(L\) gelegenen Gebietes \(G\) auf eine in \(L\) gelegene Menge \(U (G)\). Wenn die Operation \[ U(x) - x \] vollstetig ist, so ist auch \(U (G)\) ein Gebiet.
Die Haupthilfsmittel des Beweises bestehen neben einer Untersuchung der Operationen \(U (x)\) in einer zweckentsprechenden Übertragung der Brouwerschen Theorie des Abbildungsgrades auf Räume, die den genannten Voraussetzungen genügen.
Der Satz findet eine Anwendung auf die Theorie der Differentialgleichungen von elliptischem Typ. (IV 13.)

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