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Les espaces abstraits et leur théorie considérée comme introduction à l’analyse générale. (French) JFM 54.0614.02
Collection de monographies sur la théorie des fonctions. Paris: Gauthier-Villars. xii, 296 p. (1928).
Über Ursprung, Aufbau und Ziel des vorliegenden Werkes, das eine zusammenfassende Darstellung der abstrakten Topologie hauptsächlich in Richtung der Arbeiten des Verf. gibt, unterrichtet das ausführliche Vorwort: “Ursprung des vorliegenden Werkes. Seit einigen Jahren fühlte Verf. die Notwendigkeit, die Aufgabe derjenigen zu erleichtern, die, angezogen durch die neuen Begriffsbildungen der “analyse générale”’ sich in die neueren Entwicklungen dieser Theorie einzuarbeiten wünschen.”
“Viele Mathematiker haben meine Arbeiten zitiert und benutzt; aber die Mehrzahl kennt nicht mehr als meine thèse, da meine weiteren Untersuchungen in einer großen Zahl von zum Teil schwer erreichbaren Zeitschriften veröffentlicht worden sind. Die Gesamtheit dieser Arbeiten läß t nun die in meiner thèse auseinandergesetzte Theorie unter einem neuen und viel allgemeineren Gesichtspunkt erscheinen. Und das um so mehr, als zahlreiche Mathematiker außerordentlich wichtige Beiträge zu dieser Theorie geliefert haben und noch täglich liefern.”
“Um der Unordnung abzuhelfen, die sich aus der Veröffentlichung zahlreicher voneinander unabhängiger Abhandlungen mit verschiedenen Bezeichnungen und in verschiedenen Entwicklungsstadien ergab, habe ich im Jahre 1922 auf die Einladung der Universität Calcutta unter dem Titel “Esquisse d’une théorie des ensembles abstraits” eine Darstellung veröffentlicht, in der die wichtigsten Resultate ohne Beweis zusammengefaß t worden sind. Darauf erschienen 1925 einerseits ein durch die spanische mathematische Gesellschaft angeregtes Referat “Sur une définition du nombre de dimensions” und im selben Jahr eine kürzere, für weitere Kreise bestimmte Darstellung “L’analyse générale et les ensembles abstraits”’ und zwar auf Wunsch der Revue de Métaphysique et de Morale. Die Schriftleiter dieser Zeitschriften haben es mir dankenswerterweise ermöglicht, diese Darstellungen für den vorliegenden Rand zu benutzen und sogar einige Teile abzudrucken. Andererseits habe ich meine Darstellung in mehreren Vorlesungen an der Universität Straßburg und auch in einer Vorlesung, die ich als Gastprofessor während des Sommerquartals 1924 an der Universität Chicago gehalten habe, erproben können.”
Aufbau. Wie in den soeben zitierten Abhandlungen haben wir auch bei dem vorliegenden Rande nur die Absicht, an die wichtigsten Resultate zu erinnern, sie in ihrer natürlichen Anordnung darzustellen und, soweit das möglich ist, den Ursprung und den Zusammenhang der Grundideen aufzuzeigen. Unsere Absicht ist nicht so sehr, eine ins Einzelne gehende Darstellung zu geben, sondern vielmehr die Aufmerksamkeit auf die analyse générale zu lenken und ihre Leitgedanken herauszuarbeiten. Wir verzichten daher darauf, die mitgeteilten Eigenschaften zu beweisen, aber wir geben in jedem Falle einen Hinweis auf die Abhandlungen, in denen diese Beweise durchgeführt worden sind.”
“Wir verhehlen uns nicht die Unannehmlichkeiten dieser Darstellung, aber sie hat den Vorteil der Kürze. Wir hoffen, daß jeder Mathematiker sich ohne groß e Mühe die Grundgedanken der Theorie aneignen kann und daß er, wenn er sich dafür interessiert, die ausführlicheren Veröffentlichungen studieren wird.”
“Trotz allem hat das Werk einen größeren Umfang angenommen, als wünschenswert ist. Daher haben wir unsere ursprüngliche Absicht aufgegeben, in einem einleitenden Abschnitt diejenigen Dinge zusammenzustellen, die bei dem Leser als bekannt vorausgesetzt werden sollen. Der Leser findet in der französischen Ausgabe der Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften im wesentlichen alles, was zum Verständnis des vorliegenden Buches erforderlich ist Und zwar genügt es, das Heft von Baire über Mengenlehre heranzuziehen, sowie die drei kurzen Noten (Recherches contemporaines ...) aus dem zweiten Heft von Rand II, 1.”
“Der Wunsch nach möglichster Kürze hat uns auch veranlaßt, auf Vollständigkeit zu verzichten. Das ist um so weniger unangenehm, als mehrere Bände über die abstrakte Topologie in Vorbereitung sind, die ausgezeichnete Mathematiker verschiedener Nationalität zu Verfassern haben. Diese Veröffentlichungen werden sich gegenseitig ergänzen. Daher haben wir auch nicht gezögert, unter den neuen Arbeiten nur solche aufzunehmen, die uns von der hauptsächlichen Entwicklung nicht zu weit abziehen. ...“
Plan des Werkes. Bei verschiedene Gelegenheiten hat Verf. die analyse générale vor Studenten vorgetragen, die, was die modernen Begriffsbildungen der Funktionentheorie und Mengenlehre betrifft, nicht auf dem laufenden waren. Auf Grund dieser Erfahrung haben wir es vorgezogen, in dem Anordnung vorzugehen. Anstatt mit der Theorie der abstrakten Räume wenig vertrauten Leser sofort vor eine Vielheit neuer Ideen von ungleicher Wichtigkeit zu stellen, haben wir versucht, die Schwierigkeiten zu staffeln.“
“Wir haben daher zunächst diejenigen Begriffsbildungen eingeführt, die die fruchtbarsten sind und sich am natürlichsten ergeben. An die erste Stelle gehört der Begriff derjenigen Räume, in denen Umgebung und Limes durch einen Entfernungsbegriff definiert werden, d. h. der \(\mathfrak D\)-Räume. Mit dieser Verallgemeinerung der Räume mit \(n\) Dimensionen haben wir uns also zuerst beschäftigt. Aber um zu zeigen, daß dieser Begriff die Betrachtung von Räumen zuläß t die komplizierter sind als die Räume mit einer endlichen Zahl von Dimensionen haben wir gleich zu Anfang den Dimensionsbegriff eingeführt und verallgemeinert. Die Anwendung dieser beiden neuen Begriffe Verallgemeinerung des Entfernungsbegriffs und Verallgemeinerung des Dimensionsbegriffs nimmt daher den ersten Teil des Werkes ein.”
Nachdem der Leser so mit der Handhabung von Räumen beliebiger Elemente vertraut gemacht worden ist, wird ihm im zweiten Teil das Studium allgemeinerer abstrakter Räume leichter fallen Der zweite Vorteil dieser Anlage des Stoffes ist der: Diejenigen, die sich vor allem für die Anwendungen der Funktionalanalysis interessieren, können sich mit der Lektüre des ersten Teils begnügen. Denjenigen, die durch die Theorie der abstrakten Räume besonders wegen ihrer philosophischen Tragweite angezogen werden, kann die Lektüre des zweiten Teils empfohlen werden. Sie werden bemerken, daß dieser Teil ein tieferes Eindringen in die Natur der Begriffe Entfernung, Limes und Umgebung gestattet.”
“Übrigens kann der vorliegende Band aus den auf p. 11-14 dargelegten Gründen nur als Vorbereitung angesehen werden. Die Ausdehnung der klassischen Gründen auf die Untersuchung abstrakter Funktionen von abstrakten Variablen, kurz die analyse générale ist es, die immer das letzte Ziel einer großen Zahl unserer Arbeiten gebildet hat. Wir hoffen, in einem besonderen Bande die analyse générale in diesem Sinne zum Gegenstand der Untersuchungen machen zu können.”
Inhaltsverzeichnis: Vorwort. Einführung. Erster Teil: Verallgemeinerung des Begriffs der Dimensionenzahl. Verallgemeinerung des Entfernungsbegriffs. Abschnitt I: Theorie der Dimensionenzahlen. 1. Einleitung. 2. Definition der Dimensions- oder des Dimensionstypus. 3. Dimensionstypen der linearen Mengen. 4. Dimensionstypen der ebenen Mengen. 5. Räume mit einer endlichen Zahl von Dimensionen Abschnitt II: Verallgemeinerung des Entfernungsbegriffs. Unendliche Dimensionstypen. 1. Ausdehnung des Begriffs der stetigen Abbildung. 2. Kompakte Mengen. 3. Andere Definitionen. 4. Zwei einfache Beispiele von Räumen mit unendlich vielen Dimensionen. 5. Beispiele von Räumen, die alle denselben unendlichen Dimensionstypus haben. 6. Ein Dimensionstypus, der großer ist als der unendliche Typus \(dE_\omega\)“. 7. Neuer Dimensionstypus, der größer ist als die vorhergehenden. 8. Dimensionstypen abzahlbarer Mengen von Punkten in den \(\mathfrak D\)-Räumen. 9. Die Dimensionen nicht abzählbarer Mengen in den \(\mathfrak D\)-Räumen. 10. Addition der Dimensionstypen. 11. Lokaler Dimensionstypus. 12. Die Mengen \([F]\) und \([O]\) von Lebesgue. 13. Übersetzung der allgemeinen Definitionen der kompakten Mengen in die Sprache der vorher definierten Funktionenräume. 14. Affine abstrakte Räume. 15. Abschweifung über die Jordanschen Kurven.
Zweiter Teil: Verallgemeinerung der Begriffe Umgebung und Konvergenz. 1. Einleitung. 2. Wichtigste Verallgemeinerungen des Begriffs des \(\mathfrak D\)-Raumes. 3. Vorläufige Verallgemeinerungen. 4. Eigenschaften verschiedener abstrakter topologischer Räume.
Anhang A. Verallgemeinerung eines Satzes von Weierstraß . Anhang B. Über den Umgebungsbegriff in den abstrakten Räumen. Bibliographie. Index. (IV 7.)
Besprechungen: Mathesis 42 (1928), 354-355. G. Bouligand; Bulletin sc. Math. 53 (1929), 5-11. P. J. D.; Math. Gazette 14 (1929), 371-372. H. M. Gehmann; Amer. Math. Monthly 36 (1929), 334-337. M. O.; Revue Questions scient. (4) 14 (1928), 482-483. s. p.; Bollettino U. M. I. 7 (1928), 261-268.

MSC:
54-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to general topology