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Darstellung ganzer Zahlen durch binäre kubische Formen mit negativer Diskriminante. (German) JFM 54.0174.02

Ist \(f(x,y)\) eine irreduzible binäre kubische Form mit negativer Diskriminante, so wird gezeigt, daß die diophantische Gleichung \[ (1)\quad f(x,y)=1 \] im allgemeinen höchstens drei Lösungen in ganzen rationalen Zahlen \(x\) und \(y\) hat. Es treten nur folgende Ausnahmefälle ein: Ist \[ f(x,y)=x^3-xy^2+y^3 \;\text{oder}\;f(x,y)=x^3-x^2y+xy^2+y^3 \] oder gleich einer zu diesen Formen äquivalenten Form, so hat (1) genau vier Lösungen. Ist \[ f(x,y)=x^3-xy^2+y^3 \] oder gleich einer hierzu äquivalenten Form, so hat (1) genau fünf Lösungen. Dabei sind Lösungen, bei denen eine der Variablen gleich Null ist, mitgezählt. Vgl. hierzu Delaunay (F. d. M. 47, 119 (JFM 47.0119.*)).

Citations:

JFM 47.0119.*
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