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Integralgleichungen und Gleichungen mit unendlichvielen Unbekannten. (German) JFM 53.0350.01
184 S. Mit einem Vorwort von E. Hilb. Leipzig, B. G. Teubner (Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen, II C 13) (1927).
Von diesem Enzyklopädieartikel ist 1928 auch eine Sonderausgabe erschienen. Die Verf. äußern sich über die Abfassung des Artikels in den “Vorbemerkungen”: “Der Artikel will im Prinzip die bis 1. Januar 1923 erschienene Literatur berücksichtigen; jedoch glauben wir alles Wesentliche, was nachher an einschlägigen Arbeiten erschienen ist, noch erfaßt zu haben. Im Einklang mit den von der Redaktion getroffenen Dispositionen behandeln wir nur die Theorie selbst, während ihre Anwendungen an anderen Stellen der Encyklopädie zur Geltung gebracht sind.”
“Wenn dabei den Tatsachen der Theorie ihre Methoden gleichberechtigt zur Seite gestellt worden sind, wenn an verschiedenen Stellen dieses Enzyklopädieartikels Beweise angegeben werden (allerdings nur solche, die, ihrem Wesen nach fundamental, in der Literatur bisher keine bequem zu handhabende Darstellung gefunden haben), so glauben wir, daß sich dies zum mindesten aus der augenblicklichen Situation der Integralgleichungstheorie rechtfertigt: der Tatsachenbestand hat sich im letzten Dezennium in seinen Grundlagen nicht mehr verändert, während die Methoden dort, wo sie über den engen Rahmen der klassischen Theorie hinausgeführt werden, noch zu weiteren Wirkungen berufen erscheinen. Der Artikel ist dementsprechend im Gegensatz zu der üblichen materiellen Zerteilung des Gegenstandes nach Integralgleichungen und unendlichvielen Veränderlichen vielmehr nach einem methodischen Gesichtspunkt gegliedert worden. Und zwar ist dasjenige Prinzip, das überhaupt die methodische Grundlage der ganzen Theorie darstellt, nämlich die Analogie mit der Algebra der linearen und quadratischen Gebilde, auch der Disposition des Gegenstandes zugrunde gelegt worden; ebenso, wie der in Betracht kommende Abschnitt der Algebra seinerseits sachlich in die Auflösung der linearen Gleichungen und in die Transformation der quadratischen und bilinearen Formen zerfällt, ist hier in Auflösungstheorie (Kap. II) und Eigenwerttheorie (Kap. III) geschieden.”
“Der Artikel beschränkt sich aber nicht auf die materielle Seite des Gegenstandes, d. h. auf seine Tatsachen und auf seine Methoden, sondern er will zugleich auf deren Genesis aufweisen; so wenig er eine Geschichte der Integralgleichungstheorie sein will, will er doch die Entwicklung ihrer Probleme in sich enthalten. Diese Absicht birgt zunächst die Gefahr in sich, daß derjenige Leser, der nur Tatsachen oder nur Methoden sucht, durch genetische Entwicklungen behindert wird, die ihrer Art nach subjektiver und oft verwickelter sind. Um dies zu vermeiden, sind die genetischen Erörterungen in einem besonderen Kapitel in Form emer Entwicklungsgeschichte der Integralgleichungen und unendlich vielen Veränderlichen vereinigt und vorangestellt worden; die folgenden Kapitel bringen dann die bloßen Tatsachen und Methoden und sind so abgefaßt, daß sie die Kenntnis des ersten nirgends voraussetzen, sondern völlig unabhängig von ihm verständlich sind. Durch diese Trennung wird es möglich, im II. und III. Kapitel die Tatsachen und Methoden nach ihrem eigenen sachlichen Zusammenhang anzuordnen und darzustellen und unbehindert durch jede Rücksicht auf die historische Verknüpfung der Tatbestände die methodischen Elemente zu ihrem vollen Recht gelangen zu lassen. Auf der anderen Seite können wir um so freier im I. Kapitel von der geschichtlichen Entwicklung das Bild entwerfen, das sich uns in seiner naturgemäßen Bedingtheit durch den derzeitigen Stand der Theorie und durch die bewußte Betonung ihrer methodischen Bestandteile darbietet.”
Inhaltsübersicht: I. Ursprung der Theorie. II. Auflösungstheorie: Die linearen Integralgleichungen zweiter Art. Die Methode der unendlichvielen Veränderlichen. Andere Untersuchungen über lineare Gleichungssysteme mit unendlichvielen Unbekannten und lineare Integralgleichungen. Nichtlineare Probleme. III. Eigenwerttheorie: Integralgleichungen mit reellem symmetrischem Kern. Integralgleichungen mit unsymmetrischem Kern. Die vollstetigen quadratischen und bilinearen Formen von unendlichvielen Veränderlichen. Weitere Untersuchungen über quadratische und bilineare Formen von unendlichvielen Veränderlichen.