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Sur un théorème de la théorie des surfaces minima. (French) JFM 51.0373.02
T. Carleman hat 1921 (F. d. M. 48, 590 (JFM 48.0590.*)) den Satz bewiesen:
Wird ein einfach zusammenhängendes Minimalflächenstück des Flächeninhalts \(A\) von einer Kurve der Länge \(L\) begrenzt, so besteht die Ungleichung \[ A\leqq \frac {L^2}{4\pi}. \] Das Gleichheitszeichen gilt nur für Kreisscheiben.
Während Carlemans Beweis stark funktionentheoretisch und rechnerisch verläuft, gibt Razmadzé (unter Mitarbeit von Weill und Paul Lévy) einen mehr differentialgeometrischen Beweis mit Benutzung der adjungierten Minimalfläche und folgender Ungleichung: aus \(dx^2 = dx_1^2 +dx_2^2 +dx_3^2\) folgt: \[ \left(\int dx\right)^2\geqq \left(\int dx_1\right)^2 + \left(\int dx_2\right)^2 + \left(\int dx_3\right)^2. \] Man vergleiche den unter engeren Voraussetzungen geführten ganz einfachen Beweis von W. Blaschke, der am Schluß der Carlemanschen Arbeit mitgeteilt ist.
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