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Theorie der Darstellung kontinuierlicher halbeinfacher Gruppen durch lineare Transformationen. I, II, III, Nachtrag. (German) JFM 51.0319.01
Math. Z. 23, 271-309 (1925); 24, 328-376 (1926); 24, 377-395 (1926); 24, 789-791 (1926).
Der Gedankengang, dem Verf. in der vorliegenden Arbeit folgt, um das Darstellungsproblem für die halbeinfachen Gruppen zu lösen, ist der folgende:
1. Man setzt die gegebene Gruppe \({\mathfrak a}\) analytisch ins Komplexe fort, d. h. man läßt die \(r\) Parameter alle komplexen Werte annehmen, hebt aus dieser Gruppe eine Untergruppe \({\mathfrak a}_u\) von \(r\) reellen Parametern, die unitäre Beschränkung, heraus, deren adjungierte Gruppe \(\tilde{\mathfrak a}_u\) eine positiv definite quadratische Form invariant läßt, also geschlossen ist und bei invariantem Volumelement ein endliches Volumen besitzt.
2. Man stellt fest, daß die (einfach zusammenhängende) universelle Überlagerungsmannigfaltigkeit der Mannigfaltigkeit von \(\tilde{\mathfrak a}_u\) über dieser nur endlich viel Blätter besitzt, daß also auch die universelle Überlagerungsgruppe von \(\tilde{\mathfrak a}_u\) ein endliches Volumen besitzt.
Man geht von irgendeiner Darstellung von \({\mathfrak a}\) durch analytische Fortsetzung zu einer Darstellung der Überlagerungsgruppe, die wegen des einfachen Zusammenhangs der Überlagerungsgruppe nicht nur im Kleinen, sondern auch im Großen eindeutig ist.
4. Bei Benutzung des invarianten Volumenelements führt der Hurwitzsche Integrationsprozeß (Integration von \(\bar{A}'A\) auf der Überlagerungsmannigfaltigkeit von \(\tilde{\mathfrak a}_n\)) zu einer bei Anwendung der Darstellung invarianten Hermiteschen Form. (Hier knüpft Verf. an drei Abhandlungen von I. Schur an: (1924; JFM 50.0293.02).)
5. Ist die Darstellung von \({\mathfrak a}\) reduzibel (d. h. läßt sie eine lineare Mannigfaltigkeit invariant), so ist auch die zugehörige Darstellung von \(\tilde{\mathfrak a}_u\) reduzibel und wegen des Invariantbleibens einer Hermiteschen Form ist sie sogar vollständig reduzibel (d. h. es bleibt gleichzeitig eine “orthogonale” lineare Mannigfaltigkeit invariant) und damit ist auch die Darstellung von \({\mathfrak a}\) vollständig reduzibel.
6. Sieht man ähnliche Darstellungen als nicht wesentlich verschieden an, so braucht man sich also wegen der vollständigen Reduzibilität reduzibler Darstellungen nur noch um die irreduziblen Darstellungen zu kümmern. Als Kennzeichen einer Darstellung dient dem Verf. nicht der Charakter, sondern das Cartansche “höchste Gewicht” (1913; JFM 44.0170.02), das unmittelbar die Handhabe zur Konstruktion aller irreduziblen Darstellungen nach dem Hurwitzschen Kompositionsverfahren gibt. An anderer Stelle (JFM 53.0387.02) hat Verf. die Konstruktion aller Darstellungen als Lösungen von Integralgleichungen unter Benutzung der Orthogonalitätsrelationen für die Charaktere und eines Analogons der regulären Darstellung durchgeführt.
Die Durchführung des geschilderten Gedankenganges macht wesentlich von der infinitesimalen Gruppe, also Differenzierbarkeitsvoraussetzungen, Gebrauch. Die halbeinfache Gruppe wird als endliche Gruppe definiert, deren infinitesimale Gruppe keine auflösbare invariante Untergruppe besitzt. Zunächst werden eine Reihe von Sätzen, die auch bei Killing und Cartan (Thèse 1894; JFM 25.0638.02) eine große Rolle spielen, in formal einfacherer Weise bewiesen. Die Gruppe wird in bezug auf eine maximal abelsche Untergruppe \({\mathfrak h}\) durch Übergang ins Komplexe auf die Gestalt gebracht: \[ [h,h'] = 0, \quad [h, e_{\alpha}]=\alpha e_{\alpha}, \quad [e_{\alpha}, e_{-\alpha}]=h_{\alpha}, \]
\[ [e_{\alpha}, e_{\beta}] = \begin{cases} 0, & \text{wenn} \;\alpha+\beta \neq 0 \text{ keine Wurzel ist}, \\ N_{\alpha\beta}\cdot e_{\alpha+\beta}, & \;\text{wenn} \;\alpha+\beta \;\text{Wurzel ist}. \end{cases} \]
Dabei ist \(h\) das allgemeine Element von \({\mathfrak h}\); die Größen \(\alpha\) heißen Wurzeln und sind lineare Funktionen der Parameter \(\lambda_1,\ldots, \lambda_n\) von \({\mathfrak h}\); \(e_{\alpha}\) ist durch \(\alpha\) wesentlich eindeutig bestimmt; die \(h\) und \(e\) bilden eine Basis der Gruppe. Die folgenden Überlegungen sind nun einer geeigneten Wahl der Basis von \({\mathfrak h}\) und Normierung der \(e_{\alpha}\) gewidmet. Im \(\lambda\)-Raum gehört zu jeder Wurzel \(\alpha\) eine Spiegelung \(S_{\alpha}\) an der Ebene \(\alpha= 0\), die die übrigen Wurzeln untereinander vertauscht. Diese \(S_{\alpha}\) erzeugen eine endliche Gruppe \(S\). Die Untersuchung dieser Gruppe \(S\) führt über komplizierte Rechnungen, die wir hier nicht verfolgen können, zu einer Normierung der \(e_{\alpha}\) derart, daß die folgenden Gleichungen gelten:
\[ h_{\alpha+\beta} = h_{\alpha} + h_{\beta}; \]
\[ N_{\alpha\beta} = N_{\beta\gamma} = N_{\gamma\alpha}\text{ für }\alpha+\beta+\gamma = 0; \]
\[ N_{\beta\gamma}N_{\alpha\delta} + N_{\gamma\alpha}N_{\beta\delta}+N_{\alpha\beta}N_{\gamma\delta} =0\text{ für }\alpha+\beta+\gamma+\delta = 0\] und
\[ \alpha+\beta\neq 0; \quad \alpha+\gamma\neq 0, \quad \alpha+\delta\neq 0,\] \[\beta+\gamma\neq 0, \quad \beta+\delta\neq 0, \quad\gamma+\delta\neq 0; \]
\(N_{\alpha\beta}\) ist reell und \(N_{-\alpha,-\beta} = N_{\alpha\beta}\);
wenn \(\alpha+\beta\) neben \(\alpha\) und \(\beta\) Wurzel ist, so ist \(N_{\alpha\beta}\neq 0\). Die in dieser Weise normierten “Hauptparameter” \(\lambda\) und “Nebenparameter” \(\tau_{\alpha}\) werden nun in der Weise beschränkt, daß die \(\lambda\) rein imaginär und \(\tau_{\alpha}\) und \(\tau_{-\alpha}\) konjugiert komplex sind. Es zeigt sich, daß das entstehende reellparametrige Gebilde eine Gruppe ist, und daß auf ihm die Cartansche quadratische Form \(\varphi\), die Invariante der adjungierten Gruppe, positiv definit ist. Damit ist die “unitäre Beschränkung” durchgeführt und der erste Punkt erledigt.
Die Untersuchung der Zusammenhangsverhältnisse von \(\tilde{\mathfrak a}_u\) geschieht nun in der Weise, daß man eine endliche Transformation von \(\tilde{\mathfrak a}_u\) repräsentiert durch die Winkelparameter, d. h. die nicht identisch verschwindenden Wurzeln einer sie erzeugenden infinitesimalen Transformation. Diese Zuordnung ist nun allerdings nicht eindeutig, denn die Wurzeln der zugehörigen infinitesimalen Transformation sind als Logarithmen der Wurzeln der endlichen Transformation nur bis auf Vielfache von \(2\pi i\) festgelegt. Beschreibt man aber in \(\tilde{\mathfrak a}_u\) einen Weg, der Transformationen mit einer Eins als Wurzel vermeidet, so ist die einzige Vieldeutigkeit der Zuordnung, die überbleibt, durch eine Permutation der Wurzeln bedingt; durchläuft man den Weg also genügend (endlich) oft, so kehren die zugeordneten infinitesimalen Transformationen zum Ausgangswert zurück. Die zu vermeidende Mannigfaltigkeit hat nun drei Dimensionen weniger als der Gruppenraum, ihre Vernachlässigung beeinflußt also nicht die Richtigkeit der Aussagen über die Zusammenhangsverhältnisse im Gruppenraum. Hat man nun zu zeigen, daß ein geeignetes Vielfaches jedes Weges sich im Gruppenraum auf einen Punkt zusammenziehen läßt, so nimmt man erst im Raum der Winkelparameter die entsprechende Zusammenziehung vor. Weiß man, daß innerhalb \(\tilde{\mathfrak a}_u\) jedes Element einem Diagonalelement ähnlich ist, so hat man mittels der jeweiligen Ähnlichkeitstransformation eine Beziehung zwischen dem Punkt im Winkelparameterraum und einem Punkt im Gruppenraum hergestellt, die sich während des ganzen Zusammenziehungsprozesses bewahren läßt. Daß der Elementarteilerfall in \(\tilde{\mathfrak a}_u\) tatsächlich nicht eintritt, ergibt sich mittels der Überlegung, daß die Matrizen mit zusammenfallenden Wurzeln eine Mannigfaltigkeit mit drei Dimensionen weniger ausfüllen als der Gruppenraum und darum die Fortsetzung der Zuordnung einer Ähnlichkeitstransformation zu einem Element nicht hindern. -
Es sei nun noch auf die Bedeutung der Gewichte einer Darstellung eingegangen. Es sei vermöge der Darstellung dem Element \(h\) der infinitesimalen Gruppe das Element \(H\) zugeordnet, dem Element \(e_{\alpha}\) das Element \(E_{\alpha}\). Gilt für alle \(H\) die Gleichung \(He =\varLambda e\) mit \(e \neq 0\), so heißt die Linearform \(\varLambda\) der \(\lambda\) ein Gewicht und \(e\) heißt ein zu dem Gewicht gehöriger Vektor. Wie bei Cartan ergibt sich, daß das höchste Gewicht, d. h. das lexikographisch am höchsten stehende unter den \(\varLambda\), die irreduzible Darstellung im wesentlichen festlegt. Die oben geschilderte Normierung der \(\lambda\) macht die Koeffizienten der \(\varLambda\) ganzzahlig. Verf. gibt ein Verfahren und eine explizite Formel an, um aus dem höchsten Gewicht den Charakter (also auch den Grad) der Darstellung zu berechnen. Der Charakter ist ja eine Summe von \(e\)-Potenzen mit den Gewichten als Exponenten, und da die Gruppe \(S\) die Gewichte permutiert, invariant gegenüber \(S\), ferner genügt er den Orthogonalitätsrelationen. -
Erwähnt sei noch, daß Verf. zunächst die Gruppe der volumtreuen affinen Transformationen, die Drehungsgruppe und die Komplexgruppe gesondert behandelt und dann erst die halbeinfachen Gruppen allgemein. Bei der erstgenannten Gruppe erhält man ja leicht Darstellungen, indem man die Transformationsgesetze der Tensoren aufstellt. Verf. zeigt nun, daß sich die irreduziblen Darstellungen tatsächlich durch Symmetrievorschriften ausscheiden lassen. So entsteht ein Zusammenhang zwischen der symmetrischen Gruppe und der affinen Gruppe, der bereits in der Dissertation von I. Schur (Berlin 1901; JFM 32.0165.04) eine Rolle spielt, und den Verf. in anderer Weise beleuchtet hat (1924; JFM 50.0079.02). Siehe auch I. Schur (JFM 53.0109.01; JFM 54.0148.04).
Zum Schluß verweist Verf. auf die Zusammenhänge mit der Invariantentheorie, in der die Hurwitzsche Integration bei allen halbeinfachen Gruppen zum Ziele führt.
Auf eine Schwierigkeit sei an dieser Stelle noch hingewiesen: ganz wesentlich für die Durchführbarkeit des Integrationsprozesses in (4) ist die Existenz im Großen der unitär beschränkten Gruppe und ihrer Darstellung. Selbst wenn man die ursprüngliche Gruppe und ihre Darstellung als im Großen gegeben ansieht, ist das Entsprechende für die ins Komplexe fortgesetzte und unitär beschränkte Gruppe und Darstellung keineswegs unmittelbar gesichert. Hier scheint also noch eine Lücke auszufüllen zu sein. Ferner ist stets zu beachten, daß, wenn die darzustellende Gruppe komplexparametrig ist, man sie vor dem Beginn der Untersuchungen durch eine reellparametrige isomorphe Gruppe zu ersetzen hat. (II 5.)

MSC:
22Exx Lie groups
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References:
[1] Es wird sich später zeigen, warum es bequem ist, den Faktor vonf P nicht der PermutationP, sondernP ?1 zuzuordnen.
[2] Über die Charaktere der symmetrischen Gruppe, Sitzungsber. Berl. Akad. 1900, S. 516; Über die charakteristischen Einheiten der symmetrischen Gruppe, ebenda 1903, S. 328. Ich zitiere diese Arbeiten als Fr. I, II.
[3] Proc. London Math. Soc.33 (1900), S. 97;34 (1901), S. 361.
[4] Rend. Circ. Mat. Palermo48 (1924), S. 29.
[5] Bull. Soc. Math. de France41, S. 53 (zitiert als Cartan II). Ferner Journ. de Mathém. 6,10 (1914), S. 149. Diese Arbeiten stützen sich auf die Thèse von Cartan, Paris 1894, in welcher die Killingsche Tabelle der in abstracto vorhandenen halb-einfachen Gruppen sichergestellt wurde.
[6] Drei Abhandlungen in den Sitzungsber. Berl. Akad. 1924, S. 189, 297, 346.
[7] Vorläufige Mitteilungen über meine Ergebnisse sind erschienen: Gött. Nachr. 1925; Sitzungsber. Berl. Akad. 1924, S. 338.
[8] Das gleiche läßt sich durch eine kompliziertere Analyse für die reduziblen Darstellungen erreichen; vgl. Cartan, Thèse, Kap. VIII. Wir haben dieses Resultat jedoch hier nicht nötig, es wird sich übrigens aus dem Fortgang unserer Untersuchung von selber mitergeben.
[9] Cartan II, S. 64.
[10] Hier liegt also eine empfindliche Lücke in der Cartanschen Untersuchung vor. Auch die Beweisführung in Cartan II, Abschn. I, 4 (S. 58-59) scheint mir
[11] Vgl. I. Schur, Dissertation, S. 31, Formel (24).
[12] Fr. I, S. 522. ? Aus (50) und der Darstellung (40) von X durch einep-Determinante gewinnt man ferner leicht die Rekursionsformel (47); so leitet sie I. Schur a. a. O. ab.
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