×

zbMATH — the first resource for mathematics

Sur le théorème de MM. Fischer et Fr. Riesz sur la convergence en moyenne. (French) JFM 51.0227.02
Im Anschluß an einen Vortrag von Noaillon im Hadamardschen Seminar bringt Verf. einen neuen Beweis des Riesz-Fischerschen Satzes. Dieser Beweis fußt auf Ideen von Weyl und Egoroff und zeigt mancherlei Berührungspunkte mit dem von Plancherel gegebenen Beweis (1923; F. d. M. 49, 190 (JFM 49.0190.*)).
Am Anfang wird der bekannte Satz von Fréchet über die Darstellung eines linearen Funktionals bewiesen und daraus der Riesz-Fischersche Satz abgeleitet. Umgekehrt wird weiter gezeigt, daß sich der Satz von Fréchet aus diesem leicht ableiten läßt, und daß der Riesz-Fischersche Satz durch Benutzung des von Weyl und Egoroff eingeführten Begriffs der “convergence en mesure” direkt beweisbar ist.
Am Schluß wird folgende, von Noaillon gegebene Verallgemeinerung bewiesen: \(\omega (r)\) sei eine stetige gerade Funktion, \(\omega (0)=0\), \(\omega (r)\) wachse mit \(|r|\). Unter Entfernung von \(f(x)\), \(g(x)\) werde die Größe \(r\) verstanden, für welche \[ \omega (r) = \int _0^1\omega [f(x)-g(x)]\,dx \] ist. Ist dann \(f_n(x)\), \(n=1,2,\ldots \) irgend eine Folge meßbarer Funktionen mit der Eigenschaft: \(\displaystyle \int _0^1\omega (f_m-f_n)\,dx \to 0\), für \(m, n \to \infty \), so gibt es eine meßbare Funktion \(f(x)\) mit der Eigenschaft: \(\displaystyle \int _0^1\omega (f-f_n)\,dx \to 0\) für \(n \to \infty \).
Umgekehrt, wenn \(\omega (r)\) die weitere Voraussetzung \(\omega (2r)\leqq k\omega (r)\), \(k=\) const. erfüllt, folgt aus \(\displaystyle \int _0^1\omega (f-f_n)\,dx \to 0\), \(n \to \infty \), die Formel \(\displaystyle \int _0^1\omega (f_n-f_m)\,dx \to 0\), \(m, n \to \infty \).
Die älteren Resultate von Riesz, Fischer, Plancherel sind hierin für \(\omega (r)=r^\alpha \), \(\alpha >0\), enthalten. (IV 7.)
PDF BibTeX XML Cite