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Neue Anwendungen der Integralrechnung auf Probleme der Ivariantentheorte. 1. Mitt. (German) JFM 50.0293.02
Diese erste Mitteilung dient dem Ausbau der Hurwitzschen Integrationsmethode zur Erzeugung der Invarianten (Gött. Nachr. 1897, 71; F. d. M. 28, 103 (JFM 28.0103.*)); die Methode wird dann angewandt auf die Darstellungstheorie der Drehungsgruppe und ergibt hier die Grundtatsachen, sowie einen Abzählungskalkül für Orthogonalinvarianten.
Der springende Punkt ist jeweils der gleiche; es handelt sich bei Zugrundelegung eines invarianten Volumelementes um Integration über die geschlossene Gruppenmannigfaltigkeit. Bei der orthogonalen Gruppe ist das die der vollen Gruppe entsprechende Mannigfaltigkeit, bei der projektiven Gruppe wird die Geschlossenheit nach Hurwitz erreicht durch die “unitäre Beschränkung”. Durch geeignete Wahl der Parameter wird diese Mannigfaltigkeit bei Schur zur Einheitskugel, wodurch die Hurwitzschen Sätze erheblich einfacher zurückgewonnen werden. Insonderheit wird gezeigt, daß der Integrationsprozeß bis auf einen konstanten Faktor dieselben Invarianten liefert wie der \(\Omega\)-Prozeß. Der Integrationsprozeß bildet aber – und damit geht sein Anwendungsgebiet über den \(\Omega\)-Prozeß hinaus das genaue Analogon zum Summationsprozeß bei endlichen Gruppen. Der Prozeß erlaubt – das ist das gegenüber Hurwitz wesentlich Neue dieser Mitteilung - die in der Darstellungstheorie der endlichen Gruppen üblichen Schlüsse zu übertragen.
So wird die volle Reduzibilität aller Homomorphismen der Drehungsgruppe und der vollen orthogonalen Gruppen gezeigt, wie im Endlichen durch Konstruktion einer definitiven Hermiteschen Form. Die weiteren bekannten Folgerungen werden gezogen; insbesondere die Orthogonalitätsrelationen für die Charakteristiken nachgewiesen.
Diese Orthogonalitätsrelationen ergeben die Grundlage des Abzählungskalküls. Denn aus ihnen folgt, daß die Anzahl, wie oft jeder irreduzible Homomorphismus bei der Zerfällung eines gegebenen auftritt, sich in Form eines Fourierkoeffizienten ausdrücken läßt. Insonderheit ergibt sich so eine Integralformel für die Anzahl linear unabhängiger Invarianten eines gegebenen Grades, da diese Anzahl zugleich ausdrückt, wie oft der identische Homomorphismus unter dem entsprechenden Potenzhomomorphismus auftritt Diese Integralformel führt in den einfachsten Fällen bis zu expliziten Zahlen ausdrücken.

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