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Résolution de l’équation indéterminée \(qX^3-pX^2Y+nXY^2+Y^3=1\). (French) JFM 48.1156.02

Man betrachtet zunächst den Ring, der durch die reelle Wurzel \(\alpha\) der kubischen Gleichung: \[ \alpha^3=n\alpha^2+p\alpha+q, \] gegeben ist, und sucht in demselben diejenige Grundeinheit \(\varepsilon_0\), die zwischen 0 und 1 liegt. Sie sei: \[ \varepsilon_0=a\alpha^2+b\alpha+c, \] wo \(a\), \(b\), \(c\) ganz rationale Zahlen sein müssen. Gibt es einen Teiler \(l\) von \(b\), dessen Quadrat in \(a\) aufgeht, so denkt man sich \(\alpha\) durch \(l\alpha\) ersetzt. Die Einheit \(\varepsilon_0\) heiße jetzt reduziert. Von ihr nimmt man alle Potenzen \(\varepsilon_0^m\), die ein Binom: \[ \varepsilon_0^m=P\alpha+Q, \] sind. \(P\), \(Q\) sind dann alle Lösungen der im Titel angegebenen Gleichung. Es gilt der Satz: Ist \(\varepsilon_0=a\alpha^2+b\alpha+c\) die reduzierte Einheit, und besitzen \(a\), \(b\) einen gemeinsamen ungeraden Primteiler, so wird keine der Potenzen \(\varepsilon_0^m\) zu einem Binom. (II 8.)

MSC:

11D25 Cubic and quartic Diophantine equations
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