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Über die Eigenwerte bei den Differentialgleichungen der mathematischen Physik. (German) JFM 47.0455.02
Sei \(L(u)\) der sich selbst adjungierte elliptische Differentialausdruck: \[ L(u) =p\Delta u +\frac {\partial p}{\partial x} \frac {\partial u}{\partial x} +\frac {\partial p}{\partial y}\frac {\partial u}{\partial y} +qu \;(p>0), \] und sei \(G\) ein (geeignet begrenztes) Gebiet der Ebene (die Untersuchungen gelten übrigens fast durchweg bei beliebiger Dimensionszahl). Es handelt sich die Eigenwerte der Differentialgleichung: \[ L(u) + \lambda ku = 0 \;(k > 0), \] wenn am Rande \(R\) von \(G\) eine der drei Randbedingungen vorgeschrieben ist: \[ 1.\quad u =0; \qquad 2.\quad \frac{\partial u}{\partial \nu} =0;\qquad 3.\quad \frac {\partial u}{\partial \nu} =\sigma u. \] Setzt man: \[ \begin{aligned} D(\varphi)& =\iint_G \left\{p\left[\left(\frac {\partial\varphi}{\partial x}\right)^2 +\left(\frac {\partial \varphi}{\partial y}\right)^2\right] +q\varphi^2\right\}dx dy,\\ {\mathfrak D} (\varphi)& =D(\varphi) +\int_Rp\sigma \varphi^2ds,\end{aligned} \] so kann der \(n\)-te Eigenwert \(\lambda_n\) so definiert werden: Es seien \(v_1, v_2, \dots, v_{n-1}\) in \(G\) stückweise stetige Funktionen, es sei ferner \(d(v_1, v_2,\dots, v_{n-1})\) die untere Grenze von \(D(\varphi)\) (bzw. von \(\mathfrak D(\varphi)\) im Falle der 3. Randbedingung) für alle in \(G\) stetigen und stückweise stetig differentiierbaren \(\varphi,\) welche den Bedingungen: \[ \iint_G k\varphi v_i dx dy =0\;(i =1,2,\dots, n-1);\;\iint_G k\varphi^2 dx dy =1 \] und der betrachteten Randbedingung genügen. Dann ist \(\lambda_n\) gleich dem Maximum von \(d(v_1, v_2, \dots, v_{n-1})\) für alle \(v_1, v_2, \dots, v_{n-1}.\) Im Falle der Randbedingungen 2. und 3. kann dabei die Beschränkung auf solche \(\varphi,\) die der betrachteten Randbedingung genügen, auch fallen gelassen werden.
Diese Definition des \(n\)-ten Eigenwertes, zusammen mit der Bemerkung, daß die untere Grenze \(d(v_1, v_2, \dots, v_{n- 1}),\) und somit auch ihr Maximum \(\lambda_n\) nicht abnehmen kann, wenn die Klasse der zur Konkurrenz zugelassenen \(\varphi\) verengert wird, und nicht zunehmen kann, wenn diese Klasse erweitert wird, führt fast ohne Rechnung zu folgenden Sätzen über die Eigenwerte:
Sind \(G^{(i)}\) endlich viele Teilgebiete von \(G\) ohne gemeinsame innere Punkte, so ist die Anzahl der unter \(\lambda\) liegenden Eigenwerte der Randbedingung 1. für \(G\) mindestens so groß wie die Gesamtzahl der unter \(\lambda\) liegenden Eigenwerte der \(G^{(i)}.\) Daraus folgt insbesondere die Monotonieeigenschaft: Der zur Randbedingung 1. gehörige \(n\)-te Eigenwert von \(G\) ist nie größer als der \(n\)-te Eigenwert eines Teilgebietes.
Füllen die \(G^{(i)}\) das Gebiet \(G\) lückenlos aus, so ist die Anzahl der unter \(\lambda\) liegenden Eigenwerte der Randwertaufgabe 2. für \(G\) höchstens so groß wie die Gesamtzahl der unter \(\lambda\) liegenden Eigenwerte der \(G^{(i)}.\)
Sind \(\lambda_n, k_n, \mu_n\) der \(n\)-te Eigenwert für \(G\) bei der 1., 2., 3. Randbedingung, so ist \(\mu_n \leqq \lambda_n,\) und falls \(\sigma \geqq 0,\) auch \(k_n \leqq \mu_n.\) – Mit wachsendem \(\sigma\) wächst auch \(\mu_n.\) Der \(n\)-te Eigenwert ändert sich stetig mit \(p, q, k\) und \(\sigma.\) Der \(n\)-te Eigenwert ändert sich auch stetig, wenn das Gebiet \(G\) in stetiger Weise so abgeändert wird, daß auch die Normalen des Randes sich stetig ändern (dieser, die Normalen betreffende Zusatz kann wegbleiben, wenn es sich um die Eigenwerte der 1. Randwertaufgabe handelt).
Da für Quadrate das asymptotische Verhalten der Eigenwerte bekannt ist, kann es nun für beliebige Gebiete ermittelt werden, indem man sie durch Quadrate approximiert. Es ergibt sich für die Anzahl \(A(\lambda)\) der unter \(\lambda\) liegenden Eigenwerte der zuerst auf anderem Wege von H. Weyl abgeleitete Ausdruck (F. d. M. 43, 436 (JFM 43.0436.*), 1912): \[ \lim_{\lambda =\infty} \frac{A(\lambda)}{\lambda\iint_G \frac kp dx dy} = \frac {1}{4\pi}. \] Im Falle der Gleichung \(\Delta u + \lambda u = 0\) ist also \(A(\lambda)\) asymptotisch gleich \( \frac {f}{4\pi} \lambda,\) wo \(f\) den Flächeninhalt von \(G\) bedeutet. Für den dabei begangenen Fehler ergibt sich die Abschätzung: \[ | A(\lambda) - \frac {f}{4\pi}\lambda|< C\sqrt \lambda \cdot \log \lambda, \] wo \(C\) eine Konstante bedeutet.
Auch die asymptotische Eigenwertverteilung bei analogen räumlichen Problemen wird angegeben und daraus die asymptotische Eigenwertverteilung der elektrischen Eigenschwingungen eines Hohlraumes hergeleitet. (IV 15)
Reviewer: Hahn, Prof. (Wien)

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