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Über einige Lösungen der Funktionalgleichung \[ \varphi(x)\cdot \varphi(y)= \varphi(xy). \]. (German) JFM 46.0169.02
Die Abhandlung knüpft an den Versuch von J. Kürschák (J. für Math. 142, 211; F. d. M. 44, 239 (JFM 44.0239.*), 1913) an, in die allgemeine Körpertheorie ein Analogon des Begriffs der absoluten Größe als eine reellwertige nicht negative Funktion \(\varphi(x)\) des allgemeinen Körperelementes \(x\) durch die Funktionalgleichung \(\varphi(x)\cdot \varphi(y) = \varphi(xy)\) mit der Bedingung \(\varphi(x_y)\leqq \varphi(x)+\varphi(y)\) einzuführen. Es wird in ihr die Aufgabe in Angriff genommen und in einem gewissen Sinne gelöst, den Umfang des so rein postulativ eingeführen Begriffs konstruktiv zu beschreiben. Betrachtet man zunächst den Körper \(R\) der rationalen Zahlen, so wird die vollständige Lösung der Funktionalgleichung mit der obigen Nebenbedingung durch den Satz gegeben; daß, abgesehen von einigen trivialen Lösungen, entweder \(\varphi(x)=| x| ^{\varrho}\), wo \(\varrho\) eine feste positive Zahl \(\leqq 1\) ist, oder \(\varphi(x)=C^{\alpha(p, x)}\), wo \(C\) eine beliebige feste positive Zahl \(<1, \alpha(p, x)\) aber die Ordnung der rationalen Zahl \(x\) in bezug auf eine beliebige feste Primzahl \(p\) ist, d. h. eine solche Zahl, daß \(\frac{x}{p^{\alpha(p, x)}}\) gekürzt weder im Zähler noch im Nenner \(p\) enthält. Während der erste Fall eine unwesentliche Verallgemeinerung des Begriffs der absoluten Größe ist, knüpft der zweite Fall an den Begriff der Primzahl an und kann zu einer postulativen Einführung dienen. Genau ebenso läßt sich die allgemeinste Lösung in einem beliebigen rein abstrakt definierten Körper beschreiben. Es sind auch dann zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem ob \(\varphi(n)\) für wenigstens eine ganze Zahl \(n\) größer als 1 wird (der archimedische Fall), oder der für alle \(n\) nicht größer als 1 wird (der archimedische Fall). Der archimedische Fall wird durch den Satz erledigt: Gibt es ein einem Körper \(K\) eine archimedische Lösung, so läßt sich \(K\) derart isomorph auf einen Teilkörper des Körpers aller komplexen Zahlen abbilden, daß wenn dabei einem Element \(x\) von \(K\) die Zahl \(z(x)\) entspricht, \(\varphi(x)=| z(x)| ^{\varrho}\) ist, wo \(\varphi\) eine feste positive Zahl \(\leqq 1\) bedeutet. Der Körper aller komplexen Zahlen läßt sich also gewissermaßen charakterisieren als der größte Körper, in dem eine archimedische Lösung möglich ist. – Im nicht archimedischen Fall aber wird bewiesen, daß statt \(\varphi(x+y)\leqq \varphi(x)+\varphi(y)\) die schärfere Relation \(\varphi(x+y)\leqq \text{ Max. } (\varphi(x), \varphi(y))\) gilt. Damit wird die Möglichkeit gegeben, jeder Lösung \(\varphi(x)\) einen Primiteiler zuzuordnen, derart, daß jedes Element \(x\) des Körpers durch die \((-\log \varphi(x))\)-te Potenz des Primteiler teilbar ist, wobei dieser Exponent auch irrational sein kann. Auf dieser Definition läßt sich postulativ die gewöhnliche Idealtheorie aufbauen. Man kann auch den Umfang des so definierten Begriffs des Primteilers rein konstruktiv beschreiben, worauf nicht weiter eingegangen wird.

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References:
[1] Zum Körperbegriff vgl.Steinitz, Algebraische Theorie der Körper, Crelles Journal, B. 137.
[2] Crelles Journal, B. 142, S. 111–233.
[3] Kürschák, a. a. O., Crelles Journal, B. 142, S. 211–212.
[4] Darunter verstehen wir Körper mit endlich vielen Elementen.S. Steiner, a. a. O. Algebraische Theorie der Körper, Crelles Journal B. 137, S. 245 ff.
[5] G. Dumas, Sur quelques cas de réductibilité etc., Journal de Liouville, (6) 2, 1906; Sur les fonctions à charactère algébrique etc., Thèse, Paris, 1904.
[6] Für die ausführlichere Darstellung des Inhalts dieser Nummer vergleiche manKürschák, a. a. O. Crelles Journal, B. 142, S. 214–216, 222–228.
[7] Vgl.Kürschák, a. a. O. Crelles Journal, B. 142, S. 218.
[8] der sich auch auf den allgemeinen vonKürschák a. a. O. Crelles Journal, B. 142 behandelten Fall ausdehnen lässt. Vgl.A. Ostrowski, Über sogenannte perfekte Körper, Crelles Journal, B. 147.
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