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Grundzüge der Mengenlehre. Mit 53 Figuren im Text. (German) JFM 45.0123.01
Leipzig: Veit \(\&\) Comp. VIII u. 476 S. gr. \(8^{\circ}\) (1914).
Das dem Schöpfer den Mengenlehre Georg Cantor in dankbarer Verehrung gewidmete Buch will ein Lehrbuch und kein Bericht sein: es versucht, die Hauptsachen der Mengenlehre ohne Voraussetzung höherer Vorkenntnisse mit vollständig ausgeführten Beweisen darzustellen und verzichtet dafür auf Vollständigkeit des behandelten Stoffes. Hinsichtlich der thematischen Begrenzung ist der Mengenlehre selbst vor ihren Anwendungen der Vorzug gegeben. Was die Tendenz anbelangt, immer zu beweisen und niemals bloß zu referieren, so gibt es in einem Gebiete, wo schlechthin nichts selbstverständlich, das Richtige häufig paradox, das Plausible falsch ist, außer der lückenlosen Deduktion kaum ein Mittel, sich und den Leser von Täuschungen zu bewahren. Um von dem menschlichen Privileg des Irrtums einen möglichst sparsamen Gebrauch zu machen, hat der Verf. nichts ungeprüft übernommen, manches von der Wiedergabe ausgeschlossen. Selbst fertige und im ganzen einwandfreie Darstellungen mußten häufig einer gründlichen Umarbeitung unterzogen werden, bis sie sich den Forderungen der Präzision fügten.
Nach diesem Programm kann das Buch von jedem, der über einige Abstraktion des Denkens verfügt, insbesondere aber von Studierenden der Mathematik in mittleren Semestern mit Erfolg gelesen werden; außerdem bietet es auch den Fachgenossen manches Neue, besonders in methodischer und formaler Hinsicht. Daß zerstreute Einzelheiten logisch verkettet und systematisiert, bisherige Resultate von unnötig speziellen und komplizierten Voraussetzungen befreit, ein Fortschritt in Einfachheit und Allgemeinheit angestrebt wird, ist schließlich das Mindeste, was von dem Bearbeiter eines schon behandelten Stoffes verlangt werden kann. Diesen Anforderungen hat der Verf. innerhalb gewisser Grenzen durchweg entsprochen und hat dem Gegenstande dadurch manche neue Seite abgewonnen. Dafür zeugt das Buch als Ganzes, und es mögen noch besonders die symmetrischen Mengen, die Limesbildungen von Mengenfolgen, die Umgebungstheorie der Punktmengen, die systematische Durchführung der Relativbegriffe, die reduziblen Mengen, die Behandlung des Inhalts von Punktmengen erwähnt werden. Die Quellenangaben sind in einen Anhang verwiessen.
Nach diesem Auszuge aus dem Vorwort des Werkes, das ein ausgezeichnetes, in die Mengenlehre tief einführendes Lehrbuch ist, fügen wir nur noch die Überschriften der einzelnen Kapitel hinzu, aus denen ein erster Einblick in die vom Verf. getroffene Anordnung und die Ausdehnung des behandelten Stoffes gewonnen werden kann.
I. Mengen und ihre Verknüpfungen: Summe, Durchschnitt, Differenz. II. Mengen und ihre Verknüpfungen: Funktion, Produkt, Potenz. III. Kardinalzahlen oder Mächtigkeiten. IV. Geordnete Mengen. Ordnungstypen. V. Wohlgeordnete Mengen. Ordnungszahlen. VI. Beziehungen zwischen geordneten und wohlgeordneten Mengen. VII. Punktmengen in allgemeinen Räumen. VIII. Punktmengen in speziellen Räumen. IX. Abbildungen oder Funktionen. X. Inhalte von Punktmengen. – Anhang: Nachträge und Anmerkungen. Register.