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Neue Begründung der Theorie der Gruppencharaktere. (German) JFM 36.0194.01
Verf. liefert in dem vorliegenden Aufsatze eine neue und durchaus elementare Einführung in die von Frobenius gegründete Theorie der Gruppencharaktere oder in die Lehre von der Darstellung der endlichen abstrakten Gruppen durch lineare homogene Substitutionen. An Vorkenntnissen werden außer den Anfangsgründen der formalen Regeln des Kalküls der Matrizen nur die folgenden zwei bekannten Sätze, die man beispielsweise in Kroneckers Vorl. über die Theorie der Determinanten, herausgegeben von Hensel, S. 368 findet, vorausgesetzt: a) “Ist \(P\) eine Matrix mit \(m\) Zeilen und \(n\) Spalten, und sind \(A\) und \(B\) zwei Matrizen der Grade \(m\) und \(n\), deren Determinanten nicht verschwinden, so besitzen die beiden Matrizen \(P\) und \(APB\) denselben Rang. b) Ist \(P\) eine Matrix mit \(m\) Zeilen und \(n\) Spalten, deren Rang gleich \(r\) ist, so lassen sich zwei Matrizen \(A\) und \(B\) der Grade \(m\) und \(n\) von nicht verschwindenden Determinanten bestimmen, so daß in der Matrix \(APB=(q_{\alpha \beta})\) die \(r\) Koeffizienten \(q_{11}, q_{22}, \dots, q_{rr}\) gleich 1, die übrigen Koeffizienten gleich 0 sind.” Wer die wichtigen Ergebnisse der Theorie der Gruppencharaktere kennen lernen will, wird sie am besten und raschesten auf Grund der vorliegenden Arbeit studieren. Die Schursche Begründung der Theorie der Gruppencharaktere arbeitet auch mit noch einfacheren Hülfsmitteln als die von W. Burnside (Acta Math. 28, Lond. M. S. Proc. (2), 1, 117; F. d. M. 34, 156, 1903, JFM 34.0156.01) gegebene. Die Grundlage bildet bei Schur der Satz: Es seien \(\mathfrak H\) und \(\mathfrak H'\) irgend zwei irreduzible Systeme von Matrizen der Grade \(f\) und \(f'\). Ist dann \(P\) eine konstante Matrix mit \(f\) Zeilen und \(f'\) Kolonnen, für die die Gleichung \(XP=PX'\) besteht, wobei \(X\) und \(X'\) alle Matrizen aus \(\mathfrak H\) bezüglich \(\mathfrak H'\) durchlaufen, so ist entweder \(P=0\), oder es ist \(P\) eine quadratische Matrix des Grades \(f=f'\) von nicht verschwindender Determinante, und wegen \(X=PX'P^{-1}\) sind \(\mathfrak H\) und \(\mathfrak H'\) äquivalent. § 1 bis § 5 entwickeln die eigentliche Theorie der Gruppencharaktere; § 6 enthält auf Frobenius’ Anregung eine Anwendung seiner Theorie der charakteristischen Einheiten einer endlichen abstrakten Gruppe. (Vgl. Frobenius, Berl. Ber. 1903, 328; F. d. M. 34, 148, 1903, JFM 34.0148.02.)

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