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Sur la structure des groupes infinis de transformations. (French) JFM 35.0176.04
Die vorliegende Arbeit enthält, die ausführliche Begründung der Ergebnisse, die der Verf. 1902 in den Comptes Rendus mitgeteilt hat (F. d. M. 33, 161, 1902, JFM 33.0161.04). In Kap. I werden zunächst die Begriffe und Sätze, die der Verf. in seiner großen Arbeit über die Systeme von Pfaffschen Gleichungen entwickelt hat (F. d. M. 32, 351, 1901, siehe JFM 32.0351.04 u.JFM 32.0351.05), kurz wiederholt, und dann wird das allgemeine Problem behandelt, alle \(p\)-fach ausgedehnten Integralmannigfaltigkeiten eines vorgelegten Pfaffschen Systems: \(\theta_1 = 0, \dots, \theta_s = 0 \) zu bestimmen, die keine lineare Relation unter \(p\) vorgelegten Pfaffschen Ausdrücken: \(\omega_1,\dots,\omega_p\) nach sich ziehen, wobei vorausgesetzt wird, daß die \(s + p\) Pfaffschen Ausdrücke \[ \theta_1, \dots, \theta_s, \;\omega_1, \dots, \omega_p \] voneinander unabhängig sind. Die Bestimmung dieser Integralmannigfaltigkeiten, wenn es überhaupt welche gibt, muß sich immer auf die Integration eines Systems von Pfaffschen Gleichungen zurückführen lassen, das nach der Ausdrucksweise des Verf., wenn man gewisse \(p\) der Veränderlichen als die unabhängigen betrachtet, involutorisch ist; und das läßt sich stets dadurch erreichen, daß man das ursprüngliche Pfaffsche System durch Hinzunahme neuer Veränderlicher in bestimmter Weise erweitert. In Kap. II geht der Verf. von den Lieschen Definitionsgleichungen für die endlichen Transformationen einer beliebigen kontinuierlichen Gruppe aus und schreibt diese in der Form eines involutorischen Systems von Pfaffschen Gleichungen; von da aus gelangt er dann zu einer Reihe von Pfaffschen Ausdrücken, die alle bei der Gruppe invariant bleiben, und durch deren Invarianz die Gruppe vollständig definiert ist. Es gilt der Satz: Ist \(G\) eine kontinuierliche Gruppe in \(x_1, \dots, x_n\) und mit den \(h\) unabhängigen Invarianten \(U_1, \dots, U_h\), so kann man, wenn nötig durch Hinzufügung von Hülfsveränderlichen, eine Gruppe \(G'\) konstruieren, bei der die \(x\) genau so transformiert werden wie bei \(G\), und zwar derart, daß \(G'\) die größte Gruppe ist, bei der erstens die Funktionen \(U_1, \dots, U_h\) und zweitens gewisse Pfaffsche Ausdrücke \(\omega_1, \dots, \omega_r\) invariant bleiben. Dabei drücken sich die \(d U_k\) linear durch \(\omega_1, \dots, \omega_r\) aus mit Koeffizienten, die Funktionen von \(U_1, \dots, U_h\) sind, und außerdem besitzen die bilinearen Kovarianten \(\omega_k'\) der \(\omega_k\) die Gestalt: \[ \omega_k' = \sum c_{ijk} \omega_i \omega_j + \sum a_{i \varrho k} \omega_i \varpi_{\varrho}, \] wo die \(\varpi_{\varrho}\) gewisse \(p\) neue Pfaffsche Ausdrücke bezeichnen und die \(c_{ijk}, a_{i \varrho k}\) Funktionen von \(U_1, \dots, U_h\) sind. Ist \(G\) transitiv, so sind die \(c_{ijk}\) und \(a_{i \varrho k}\) Konstanten. Ist \(G\) endlich, so treten die \(\varpi_{\varrho}\) gar nicht auf, und wenn dann \(G\) überdies transitiv ist, so sind die \(c_{ijk}\) die Konstanten, die nach Lie die Zusammensetzung von \(G\) bestimmen. Die hiermit gewonnene neue Darstellung der Definitionsgleichungen einer beliebigen endlichen oder unendlichen kontinuierlichen Gruppe ist schon an und für sich höchst merkwürdig; sie liefert überdies ein Mittel, um auch die Zusammensetzung (Struktur) einer unendlichen kontinuierlichen Gruppe in gewissem Sinne analytisch darzustellen. Hat man nämlich eine Gruppe \(G\) in \(n\) Veränderlichen \(x_1, \dots, x_n\) und eine Gruppe \(G'\) in \(m + n\) Veränderlichen \(x_1, \dots, x_n, y_1, \dots, y_m\), bei der \(x_1, \dots, x_n\) genau so transformiert werden wie bei \(G\), und reduziert sich jede Transformation von \(G'\), bei der die \(x\) nicht transformiert werden, auf die identische Transformation, so sagt der Verf., daß \(G'\) durch holoedrisch isomorphe Erweiterung von \(G\) entstanden sei. Zwei beliebige Gruppen \(G_1\) und \(G_2\) werden dann gleich-zusammengesetzt genannt, wenn man aus ihnen durch holoedrisch isomorphe Erweiterung zwei Gruppen \(G_1'\) und \(G_2'\) herstellen kann, die gleichviele Veränderliche enthalten und miteinander ähnlich sind. Benutzt man diese (übrigens sehr naheliegende und ziemlich gleichzeitig auch von Vessiot vorgeschlagene) Definition des holoedrischen Isomorphismus, so muß man der durch die Pfaffschen Ausdrücke \(\omega_1, \dots, \omega_r\) definierten Gruppe \(G'\) dieselbe Zusammensetzung zuschreiben wie der ursprünglichen Gruppe \(G\), und die Zusammensetzung von \(G\) wird daher bis zu einem gewissen Grade durch die ganzen Zahlen \(h, r\) und \(p\) und durch die Größen \(c_{ijk}, a_{i \varrho k}\) repräsentiert. Hier müssen übrigens die \(c_{ijk}\) und \(a_{i \varrho k}\) gewissen Bedingungen genügen, die den aus der Jacobischen Identität für die \(c_{iks}\) einer endlichen Gruppe folgenden Relationen analog sind, und von denen der Verf. beweist, daß sie nicht bloß notwendig, sondern auch hinreichend sind, wenn wirklich die Zusammensetzung einer Gruppe vorliegen soll. Der Verf. zeigt noch, wie man unter Umständen bei einer intransitiven Gruppe den Grad der Intransitivität herabdrücken kann, ohne die Zusammensetzung zu ändern, und schließt das zweite Kapitel mit der Bestimmung aller Zusammensetzungen, die für \(r = 1\) und \(r = 2\) möglich sind. In zwei Kapiteln, die noch folgen sollen, beabsichtigt der Verf. diese wichtigen Untersuchungen weiterzuführen.

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