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Les groupes bilinéaires et les systèmes de nombres complexes. (French) JFM 29.0097.03
Bekanntlich ist, wie zuerst Poincaré (F. d. M. 16, 119, 1884, JFM 16.0119.02) bemerkte, die Theorie der Systeme höherer complexer Zahlen eng verbunden mit der der linearen, homogenen, einfach transitiven Gruppen. Der Verf. betrachtet insbesondere “bilineare” Gruppen, d. i. solche, deren endliche Gleichungen linear und homogen sind hinsichtlich der Variabeln und der Parameter: jede Transformation einer solchen Gruppe repräsentirt eine complexe Zahl eines Systems mit distributivem und associativem Gesetz, für das überdies die Division im allgemeinen ausführbar ist.
Von den Ergebnissen bezüglich der Zusammensetzung der fraglichen Zahlsysteme werden wieder Anwendungen auf die bilinearen Gruppen gemacht. Es seien \[ x_i=a_1\xi_{i1}+a_2\xi_{i2}+\cdots+a_r\xi_{ir}\quad(i=1,2,\dots,n)\tag{1} \] die Gleichungen einer Gruppe \(G\) in \(n\) Variabeln \(x_1,x_2,\dots,x_n\) und \(r\) Parametern, wo die \(\xi\) Functionen der \(x\) sind; es wird vorausgesetzt, dass \(G\) die identische Transformation enthalte. \(G\) lässt sich dann erzeugen durch \(r\) unabhängige infinitesimale Trausformationen.
Es wird das Kriterium aufgestellt, dass eine so erzeugte Gruppe in Bezug auf ihre Parameter linear und homogen ist. Das Nämliche wird geleistet, wenn die Linearität und Homogeneitat sich auch auf die Variabeln beziehen sollen, d. h. die Gruppe eine “bilineare” sein soll.
Eine einfache transitive bilineare Gruppe kann durch passende Wahl von Parametern in die Normalform gebracht werden, dass sie ihre eigene Parametergruppe ist. Bei dem Studium der mit den bilinearen Gruppen verknüpften Systeme von complexen Zahlen tritt der Begriff der Zahl “Pseudo-Null” eines Systems hervor, d. h. einer Zahl des Systems, für welche die charakteristische Gleichung nur verschwindende Wurzeln besitzt. Weiterhin werden die Systeme von Wichtigkeit, deren charakteristische Gleichung sich in lineare Gleichungen zerlegt. Es giebt für derartige Systeme ganzzahlige Invarianten, die von der Darstellungsform des Systems unabhängig sind.
Eine beliebige complexe Zahl kann, durch geeignete Wahl von Einheiten, stets auf eine gewisse einfache Normalform gebracht werden.
Diese kurzen Hinweise mögen genügen, um die Richtung zu kennzeichnen, in der sich die Untersuchungen des Verf. bewegen.

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Full Text: Numdam Numdam EuDML