×

zbMATH — the first resource for mathematics

Ueber die Erzeugung der Invarianten durch Integration. (German) JFM 28.0103.03
\(G\) sei eine endliche Gruppe von discreten Substitutionen der Variabeln \(x_1,\,x_2,\,\dots,\,x_n\). Wendet man auf eine beliebige Function \(f(x_1,x_2,\dots,x_n)\) alle Substitutionen von \(G\) an, so ist die Summe aller so entstehenden Functionen eine Invariante von \(G\), und zwar die allgemeinste. Dies bekannte Princip zur Erzeugung von Invarianten endlicher Gruppen überträgt der Verf. auf continuirliche Gruppen, wo dann bestimmte Integrale an die Stelle der Summen treten. Insbesondere kommen in Betracht die ganzen rationalen Invarianten der algebraischen Formen, i. e. diejenigen ganzen rationalen Functionen der Coefficienten einer Form (resp. mehrerer Formen), die sich nicht ändern, wenn man auf die Variabeln die Substitution der allgemeinen linearen, homogenen unimodularen Gruppe, bezw. einer ihrer Untergruppen (z. B. der orthogonalen) ausübt.
Der Verf. geht zunächst auf die orthogonale Substitutionen \(S\) ein. Die \(n^2\) Coefficienten \(r_{ik}\) der Substitution werden als rechtwinklige Coordinaten eines Raumes \(M_{n^2}\) von \(n^2\) Dimensionen aufgefasst. Die Gesamtheit aller Punkte, die den orthogonalen Substitutionen von \(n\) Variabeln entsprechen, erfüllen ein Gebilde \(R\), das ganz im Endlichen liegt (woraus die Convergenz der weiterhin zu betrachtenden Integrale von selbst gewährleistet ist). Die Zusammensetzung zweier orthogonalen Substitutionen liefert selbst wieder eine in \(M_{n^2}\) orthogonale Substitution; sie repräsentirt eine lineare Transformation des in Rede stehenden Raumes, bei der \(R\) in sich übergeht, und das Inhalts-Element \(dR\) invariant ist.
Es seien jetzt \(\varphi(a;x)\) eine gegebene Urform mit den Coefficienten \(a\) und den Variabeln \(x\), die vermöge \(S\) in \(\varphi(a';x')\) übergehe. Eine beliebige Form \(F(a)\) der Coefficienten \(a\) geht vermöge \(S\) über in \(F(a')\), i. e. eine gewisse Form der \(a\) und der \(r_{ik}\). Beschreibt der ,,Punkt” \((r)\) das Gebilde \(R\), so stellt \(F(a')\) successive alle Formen dar, in die \(F(a)\) vermöge aller \(S\) übergeht. Dann ist das über \(R\) ausgedehnte Integral \(\int\limits_R F(a')\,dR\) eine orthogonale Invariante \(J(a)\) der Urform \(\varphi(a;x)\), und zwar wiederum, bei geeigneter Wahl von \(F\), die allgemeinste Invariante derart.
Hiermit wird es möglich, unter Benutzung der von Hilbert (vgl. F. d. M. 22, 133, 1890, JFM 22.0133.01) angegebenen Methode, den Beweis für die Endlichkeit der orthogonalen Invarianten einer Form \(\varphi(a;x)\) allgemein zu führen, was bisher nur für binäre und ternäre Formen gelang. Der Integrationsprocess des Verf. tritt an die Stelle des von Hilbert benutzten Differentiationsprocesses. (Der Beweis ist sofort auf jede Untergruppe der orthogonalen Gruppe übertragbar.) Man kann aber auch die obige Bildung der orthogonalen Invarianten mit Hülfe der bekannten Euler’schen Darstellung der \(S\) so weit entwickeln, dass sie unmittelbar zur expliciten Herstellung dieser Invarianten brauchbar wird.
Nunmehr wird das Verfahren ausgedehnt auf die gewöhnlichen Invarianten von \(\varphi(a;x)\), also den gegenüber allen unimodularen Substitutionen \(\Sigma\) mit den Coefficienten \(\sigma_{ik}\) invarianten Formen \(F(a)\). Die \(\sigma_{ik}\) erfüllen ein gewisses Gebilde \(w\), und das analog gebildete Integral \(\int F(a')\,dw\) (wo \(dw\) ein geeignetes Raumelement bezeichnet) würde, falls es convergirt, eine Invariante von \(\varphi\) sein. Aber hier tritt die merkwürdige Schwierigkeit auf, dass das Integral bei reellen \(\sigma_{ik}\) gerade divergirt, wenn \(F(a)\) eine Form der \(a\) ist. Indessen wird die Schwierigkeit dadurch überwunden, dass man die \(\sigma_{ik}\) zunächst als complex annimmt und demgemäss in einem Raume \(M_{2n^2}\) von \(2n^2\) Dimensionen operirt, andererseits auch die \(x\) und \(x'\) als complex veränderlich ansieht. \(\Sigma\) wird dann zu einer auf \(2n\) reelle Variabeln ausgeübten Substitution \(P\); alle Substitutionen \(P\) bilden eine, zu der Gruppe der \(\Sigma\) holoedrisch isomorphe Gruppe. Die orthogonalen \(P\) bilden eine Untergruppe \(\Gamma\), die von \(n^2-1\) reellen Parametern abhängt; die entsprechende Untergruppe der \(\Sigma\) sei \(G\). Die Substitutionen von \(G\) in \(M_{n^2}\) repräsentiren ein ganz im Endlichen liegendes Gebilde \(T\); jede Invariante ist bei den Substitutionen von \(G\) invariant, aber auch umgekehrt. Damit wird die allgemeinste Invariante von \(\varphi(a;x)\) durch das Integral \(\int\limits_T F(a')\,dT\) gegeben. Die explicite Berechnung erfordert eine Zerlegung der Substitutionen von \(G\) in ,,elementare”, die der Euler’schen Zerlegung der orthogonalen Substitutionen entspricht. Die Ausführung der Integration führt dann auf Producte von Integralen der Gestalt \(\int\limits_0^{2\pi} \cos^p\varphi\sin^q\varphi\,d\varphi\), \(\int\limits_0^{2\pi} e^{ip\psi}\,d\psi\).
Zur Erläuterung wird der Fall der binären Invarianten behandelt. Das Integral für \(J(a)\) liefert zur Herstellung der allgemeinsten Invariante von \(\varphi\) die Regel: ,,Man ordne \(F(a')\) nach den Substitutionscoefficienten \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\) und ersetze jedes Potenzproduct \(\alpha^{K_1}\beta^{K_2}\gamma^{K_3}\delta^{K_4}\) durch Null, nur diejenigen, wo \(K_4=K_1\), \(K_3=K_2\), ersetze man durch \((-1)^{K_2}K_1!K_2!\)” Wie nicht anders zu erwarten, deckt sich diese Regel im wesentlichen mit der wiederholten Anwendung des Cayley’schen \(\Omega\)-Processes auf \(F(a')\). Am Schlusse wird noch entwickelt, wie das Princip, die Invarianten durch Integration herzustellen, auf jede endliche continuirliche Gruppe anwendbar ist (vergl. das folgende Referat, JFM 28.0105.01). Unter dem fraglichen Integral ist die Function \(F(a')\) noch mit einer gewissen Hülfsfunction zu multipliciren, der ,,Dichtigkeitsfunction” der Parametergruppe, damit Convergenz eintritt. Offenbar ist damit ein weites Feld eröffnet zur eingehenderen Untersuchung der Invarianten einer Reihe wichtiger besonderer projectiver und anderer Gruppen, bei denen die bisherigen Methoden versagten.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: Link EuDML