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On the residues of double integrals. (Sur les résidues des intégrales doubles.) (French) JFM 19.0275.01
Der Gegenstand ist bearbeitet von Maximilien Marie, Picard und Stieltjes, über deren Behandlungen der Verfasser im Anfang sein Urteil abgiebt. Die Aufstellungen von Marie lassen sich nur durch Interpretation aufrecht halten und führen zu Irrungen. An Picard’s Theorie wird nur der Name intégrales de périodes gerügt, welcher vielfache Verwirrung erzeuge. Stieltjes hat seine zwei Arbeiten nicht veröffentlicht, weil er auf Einwürfe gegen dieselben nicht antworten konnte. In einem spätern Abschnitte des Gegenwärtigen wird das Verfahren mitgeteilt und die Einwände gegen die eine Arbeit widerlegt. Die hier gewählte Methode sucht die geometrische Darstellung einer vierfachen Mannigfaltigkeit durch vier Dimensionen zu vermeiden, indem sie dieselbe auf dreifache Variation beschränkt. Sind \( \xi = x + iy\), \(\eta = z + it \) die Integrationsvariabeln und ist \( P (\xi, \eta):Q (\xi, \eta) \) die als rational angenommene Function unter dem doppelten Integrationszeichen, so wird letztere nur dann unendlich, wenn \( x, y, z, t \) zwei Gleichungen erfüllen, wodurch eine Fläche \( S \) bestimmt wird, und die Unstetigkeit wird umgangen, wenn die Integrationsfläche \( S' \) keinen Punkt mit \( S \) gemein hat. Es werden nun \( x, y, z, t \) im Integrationswege als Functionen von \( \lambda, \mu, \nu \) und letztere als Raumcoordinaten betrachtet, und es wird behauptet, dass diese Darstellung nicht für jede Integralfläche möglich sei, sondern dass sogar die Functionen genau oder doch nahezu rational gewählt werden können. Die Bedingung, unter der ein Integral \( \iint (A \, dy \, dz + B \, dz \, dx + C \, dx \, dy) \) bei jedem Integrationswege, wenn nur der Umfang der Integrationsfläche unverändert bleibt, denselben Wert hat, ist: \[ \frac {\partial A}{\partial x} + \frac {\partial B}{\partial y} + \frac {\partial C}{\partial z} = 0 . \] Von derselben Form sind die Bedingungen bei beliebig vielen Variabeln. Wenn die Flächen \( S, S' \) nicht ganz in einem Raume \( (\lambda, \mu, \nu) \) liegen, werden sie in kleine Stücke zerlegt, für welche dies nahezu stattfinden kann. Es werden nun über den Sinn der Durchlaufung der Umfänge Bestimmungen getroffen und die verschiedenen Lagen von \( S \) und \( S' \) durchgegangen, wo sie keinen gemeinsamen Punkt haben. Ist dagegen \( S \) eine geschlossene Fläche, welche singuläre Curven umschliesst, so ist das Integral \[ J = \iint \frac {P(\xi, \eta) \, d \xi d \eta}{Q(\xi, \eta) \; R(\xi, \eta)} , \] wo \( Q \) und \( R \) irreductible ganze Functionen sind, die Summe von Integralen über Flächen \( \Sigma, \Sigma', \dots \) im Innern von \( S \) , deren jede nur eine jener singulären Curven umschliesst, und für jede solche ist das Residuum das einfache Abel’sche Integral: \[ J = \int \frac {2i \pi \; P \, d \xi}{R \frac {\partial Q}{\partial \eta}} = \int \frac {2i \pi \; P \, d \xi}{Q \frac {\partial R}{\partial \eta}} . \] Stieltjes hatte bei Betrachtung desselben Doppelintegrals \( J \) eine Verallgemeinerung der Formel von Lagrange entdeckt, jedoch keine Erklärung des Umstandes finden können, dass der Ausdruck der Periode bei Vertauschung von \( Q \) und \( R \) sein Vorzeichen wechselt. Es folgt hier die Erklärung: nämlich die Fläche \( Q = 0 \) fällt innerhalb, die Fläche \( R = 0 \) ausserhalb der Integrationsfläche. Als Anwendung seiner Theorie giebt der Verfasser den Beweis des Satzes: Eine ganze Function von \( \xi, \eta \) , die für unabhängige unendliche \( \xi, \eta \) einen endlichen Grenzwert hat, ist eine Constante. Dann folgt eine Betrachtung variabler Perioden, dann Anwendung auf die Functionen \( \Theta \) in seiner Abhandlung über die Abel’schen Functionen, American J. VIII. 289 (s. F. d. M. XVIII. 1886. 421, JFM 18.0421.02).

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