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Treatise on permutations and algebraic equations. (Traité des substitutions et des équations algébriques.) (French) JFM 03.0042.02
Paris: Gauthier-Villars. xvi, 667 p. (1870).
In dem Werke des Herrn C. Jordan über Substitutionen und algebraische Gleichungen liegen die Untersuchungen im Zusammenhange vor, welche über diese Gegenstände bisher von ihm angestellt worden sind. Dass manche Arbeiten deutscher Forscher auf diesem Gebiete nicht nach Gebühr benutzt seien, entschuldigt der Herr Verfasser theils durch die aphoristische Form derselben, theils durch die Verschiedenheit der angewendeten Methoden, theils durch die Hoffnung, dass eines Tages auch jene Theorien geschlossen und vollständig an’s Licht treten würden. Manche Abschnitte, Auszüge, Bruchstücke und Resultate des Werkes sind bereits früher in verschiedenen Zeitschriften erschienen; dass auch heute noch so manche veröffentlicht werden, zeigt freilich, die gesammte Theorie sei noch nicht so abgeschlossen und vollständig, wie sie in einer Selbstanzeige der Herr Verfasser angesehen wissen will: es bleiben noch manche Lücken auszufüllen, manche Weitschweifigkeiten zu entfernen, manche Beweise zu berichtigen übrig.
Der bedeutende Umfang des Buches macht es unmöglich, hier in das Einzelste einzugehen. Wir müssen uns begnügen, den Gang im Grossen und Ganzen zu verfolgen und die wichtigsten Resultate hervorzuheben.
Im ersten Buche werden die Grundzüge der Theorie der Congruenzen auseinandergesetzt, und am Schlusse wird die von Galois gemachte Einführung imaginärer Grössen, welche die Lösung der Congruenzen von höheren Graden liefern sollen, kurz angegeben.
Das erste Capitel des zweiten Buches behandelt die Elemente der Lehre von den Substitutionen, speciell von den Substitutionsgruppen. In Beziehung auf diese werden die Begriffe: “transitiv”, “nicht primitiv”, “zusammengesetzt” einer näheren Betrachtung unterzogen. \(n\)fach transitiv heisst eine Gruppe, wenn es in ihr Substitutionen giebt, die \(n\) Elemente durch die \(n\) beliebige andere ersetzen; nicht-primitiv, wenn man ihre Elemente so in Theile von gleich vielen Gliedern vertheilen kann, dass die Substitutionen Elemente aus einer Abtheilung stets wieder in eine einzige überführen; zusammengesetzt, wenn die Gruppe eine andere von der Beschaffenheit enthält, dass die Substitutionen beider mit einander bis auf Substitutionen der zweiten vertauschbar sind. (Siehe JFM 01.0041.02.)
Im zweiten Capitel werden die Substitutionen analytisch behandelt, indem man die Operation, mittels deren \(a_{x, y, z,.. }\) durch das Element \(a_{f(x),\varphi(y),\psi(z)} \cdot \cdot\) ersetzt wird, durch \(| x, y, z, \cdot \cdot f(x), \varphi(y),\psi(z) \cdot \cdot | \) bezeichnet. Die Gruppe, bei der die \(f,\varphi,\cdot \cdot\) linear und homogen sind, heisst die lineare.
Die Orthogonal-Gruppe enthält die Substitutionen \[ | x, y, z,\cdot \cdot ax + by + cz,\cdot \cdot a'x+\cdot \cdot | , \] wobei zugleich \[ x^{2} + y^{2}+\cdot \cdot =(ax + by + \cdot \cdot )^{2} + (a'x + b'y + \cdot \cdot)^{2}+\cdot \cdot \] sein muss. Wenn die Substitutionen \[ | x_{\lambda}, y_{\lambda}\;a_{1}^{(\lambda)}x_{1} + c_{1}^{(\lambda)}y_{1} + a_{2}^{(\lambda)}x_{2} + c_{2}^{(\lambda)}y_{2}+ \cdot \cdot , \;b_{1}^{(\lambda)}x + d_{1}^{(\lambda)}y + \cdot \cdot | , \] \[ (\lambda = 1, 2,\cdot \cdot n)\;\; \text{die Function}\;\; \sum_{1}^{n}(x_{\lambda}\eta_{\lambda} - \xi_{\lambda}y_{\lambda}) \] bis auf einen Factor in sich selbst umwandeln, so bilden sie eine Abelsche Gruppe; Specialfälle derselben sind die Hypo-Abelschen Gruppen. Alle diese werden näher untersucht, ihre Ordnung, ihre Factoren der Zusammensetzung u. s. w. bestimmt. Ferner wird in diesem Capitel eine canonische Form für lineare Substitutionen aufgestellt; Methoden gegegeben, um specielle lineare Gruppen zu construiren; die Gruppen behandelt, deren Substitutionen unter einander vertauschbar sind, und eine Theorie der linearen gebrochenen Substitutionen gegeben.
Durch Aufstellung des Begriffes der Gruppe einer Gleichung wird im ersten Capitel des dritten Buches die Theorie der Gleichungen mit derjenigen der Substitutionen in Verbindung gebracht, und so beispielsweise die Auflösbarkeit der algebraischen Gleichungen auf die Zusammensetzung ihrer Gruppe reducirt. Durch Adjunction gewisser Irrationalitäten kann man eine Reduction der Gleichungen herbeiführen und die genauere Untersuchung dieser Verhältnisse führt zu den Theoremen über Auflösbarkeit der Gleichungen u. s. w. Das zweite Capitel giebt die Theorie der Abel’schen und der Galois’schen Gleichungen. Die ersteren sind solche, bei denen alle Wurzeln rational durch eine unter ihnen, die letzteren solche, bei denen alle durch zwei ausgedr\"ckt werden können. Die Gruppe der Abel’schen Gleichungen enthält nur gegen einander vertauschbare Substitutionen; einen besonderen Fall derselben bilden die binomischen Gleichungen. Die geometrischen Anwendungen des dritten Capitels beziehen sich auf die Inflexionspunkte der Curven dritten Grades; auf die Curven dritter Ordnung, deren Schnittpunkte mit einer gegebenen Curve vierter Ordnung zu je vier zusammenfallen; auf die Kummer’sche Fläche, auf die Geraden der Flächen dritten Ordnung und auf Berührungsprobleme. Die Anwendung auf die Theorie der Transcendenten bildet den Inhalt des vierten Capitels. Es werden circulare, elliptische und hyperelliptische Functionen besprochen, die Theilung der Perioden, die Modulargleichungen u. s. f. behandelt. Aus der sich anschliessenden “Auflösung der Gleichungen durch Transcendenten” heben wir folgendes Theorem hervor, welches nach Durchführung der Auflösungsmethoden der Gleichungen dritten, vierten und fünften Grades bewiesen wird. Die Auflösung der allgemeinen Gleichung \(X=x^{q} = ax^{q-1} + \cdot \cdot =0\) wird, nach Adjunction numerischer Irrationalitäten, welche nur von \(q\) abhängen, auf die Gleichung zurückgeführt, welche die Zweitheilung der Perioden derjenigen hyperelliptischen Functionen giebt, welche mit \(\sqrt{X}\) gebildet sind.
Galois hat gezeigt, dass eine irreductible Gleichung von einem Primzahlgrade dann und nur dann lösbar sei, wenn ihre Gruppe die lineare ist. Es kam hierbei auf die Construction der Gruppe an, die sich ohne grosse Schwierigkeiten bewirken lässt. Anders wird dies bei Gleichungen eines beliebigen Grades. Galois stellte zwar eine Haupteigenschaft der Gruppen auflösbarer Gleichungen fest (Traité IV. 1 Théor. 4), gelangte aber nicht zur Construction derselben und sprach, indem er sich auf die primitiven Gleichungen beschränkte, deren Grad also nur eine Primzahlpotenz sein kann, die schon früher von Herrn Jordan widerlegte Ansicht aus, alle auflösbaren primitiven Gleichungen eines Grades gehörten zu nur einem Typus (JFM 01.0040.01).
Der Herr Verfasser stellt nun im ersten Capitel des vierten Buches ausser dem eben erwähnten Galoisschen noch andere Kriterien für auflösbare Gruppen auf und gründet auf eine derselben seine Construction. Diese wird im zweiten Capitel durchgeführt, und zwar wird das Problem für den allgemeinsten Fall auf ein gleiches für specielle Fälle der Gruppen reducirt. Eine allgemein gültige Formel wird nicht gegeben, sondern eine Methode, mittelst deren das Problem für Gleichungen höherer auf solche von bei weitem niederem Grade zurückgeführt wird. Die Ausdrücke der Substitutionen der gesuchten Gruppen enthalten imaginäre Grössen, nähmlich die Wurzeln irreductibler Congruenzen höherer Grade; allein dies findet nur scheinbar statt. Die Umformung in reelle Form jedoch erfordert Versuche.
Die angegebene Methode liefert sämmtliche gesuchte Gruppen; der im letzten Capitel gegebene Beweis, dass alle gefundenen im allgemeinen von einander unabhängig seien, erfordert bedeutenden Raum und macht ziemlich grosse Schwierigkeiten.

MSC:
12E12 Equations in general fields
20B25 Finite automorphism groups of algebraic, geometric, or combinatorial structures
12-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to field theory
14H42 Theta functions and curves; Schottky problem
14H99 Curves in algebraic geometry
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