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Transcendental numbers. (English) Zbl 0039.04402
Annals of Mathematics Studies. 16. Princeton, N. J.: Princeton University Press. viii, 102 p. (1949).
Das Buch stellt nach den Ausführungen des Vorworts bis auf kleine Abweichungen die Wiedergabe einer in Princeton während des Frühjahrs 1946 gehaltenen Vorlesung dar. Es enthält eine Darstellung der wichtigsten Entdeckungen auf dem Gebiete der transzendenten Zahlen während der letzten 30 Jahre. Es ist bei dem knappen Umfang und der ausführlichen Darstellung der Beweise nur zu verständlich, daß keinerlei Vollständigkeit angestrebt wird und sich Verf. auf die methodisch interessantesten Untersuchungen beschränkt hat.
Im 1. Kap. wird die Exponentialfunktion \(e^x\) untersucht. Vorangestellt werden die einfachen Methoden zur Feststellung der Irrationalität von \(e^a\) für rationales \(a\neq 0\) und von \(\pi\) und \(\tan a\) für rationales \(a\neq 0\). Diese werden dann folgerichtig zu Transzendenzuntersuchungen ausgebaut, indem man zuerst die Frage der Approximation der Null durch eine Näherungsfunktion \(P_1(x) e^{\rho_1x}+\ldots+P_m(x) e^{\rho_mx}\) mit komplexen Koeffizienten \(\rho_1,\ldots, \rho_m\) und Polynomen \(P_1(x),\ldots, P_m(x)\) behandelt. Es wird damit die Transzendenz von \(e\) für reelles algebraisches \(a\neq 0\) hergeleitet. Dieser Beweis läßt den ursprünglichen Hermiteschen Beweisansatz gut erkennen. Daran anschließend wird die Methode noch benutzt, um den Lindemannschen Satz zu zeigen. Allerdings wird auf die Herleitung eines Transzendenzmaßes verzichtet. Der Zusammenhang des vorgetragenen Beweises mit einem Interpolationsreihenansatz, der auch zur Transzendenz von \(e^a\) führt, wird zum Schluß aufgezeigt.
Das 2. Kap. stellt die Ergebnisse des Verf. über die Besselschen Funktionen dar. [Abh. Preuß. Akad. Wiss. 1929, Nr. 1, 70 S. (1929; JFM 56.0180.05)] In diesen Untersuchungen ist der Hermitesche Ansatz zu einer weitreichenden direkten Methode vertieft, die auf Funktionen, die gewissen, linearen Differentialgleichungen genügen und zusätzliche arithmetische Eigenschaften besitzen, anwendbar ist. Von diesen Funktionen vom Charakter hypergeometrischer Reihen wird kein Additionstheorem benötigt, da man sich auf eine Potenzreihenentwicklung beschränkt. Die Methode liefert nicht nur Transzendenzaussagen, sondern gleichzeitig Ergebnisse über algebraische Unabhängigkeit gewisser transzendenter Zahlen, z. B. der Werte der Besselschen Funktion \(J_0(\xi)\) und \(J'_0(\xi)\), die danach für algebraisches \(\xi\neq 0\) nicht durch eine nichttriviale algebraische Gleichung mit algebraischen Koeffizienten miteinander verknüpft sein können. Es wird mit einer ganzen Reihe von Anwendungen und Verallgemeinerungen geschlossen. Diese Darstellung unterscheidet sich von der Originalarbeit besonders vorteilhaft dadurch, daß hier der Beweis in eine ganze Reihe von Hilfssätzen, die großenteils für sich von Interesse sind, zerlegt ist, ohne daß dabei der Beweisgedanke zu sehr in den Hintergrund treten würde. Dadurch wird die Lesbarkeit dieser schönen Untersuchungen ganz wesentlich erleichtert.
Das 3. Kap. ist der Lösung des 7. Hilbertschen Problems gewidmet. Es werden nach einer kurzen einleitenden Betrachtung über den Gel’fondschen Beweis der Transzendenz von \(e^\pi\) aus dem Jahre 1929 die kurzen Beweise der Transzendenz von \(a^b\) (für algebraisches \(a\neq 0,1\) und irrationales algebraisches \(b\)) von Ref. [J. Reine Angew. Math. 172, 65–69 (1934; Zbl 0010.10501)] und von A. Gel’fond [C. R. (Dokl.) Acad. Sci. URSS 2, 1–3, 4–6 (1934; Zbl 0009.05302); Bull. Acad. Sci. URSS, VII. Ser. 1934, No. 4, 623–630 (1934; Zbl 0010.39302)] vorgetragen und dann einander gegenübergestellt.
Kap. 4 gibt die Ergebnisse des Ref. über transzendente Werte der elliptischen Funktionen und der Modulfunktion [Math. Ann. 113, 1–13 (1936; Zbl 0014.20402)] wieder, die durch Ausbau der in Kap. 3 dargestellten Methoden gewonnen werden. Abschließend werden ohne Beweis Verallgemeinerungen dieser Untersuchung auf abelsche Integrale und ein daraus folgendes Transzendenzresultat der Betafunktion [Ref., J. Reine Angew. Math. 183, 110–128 (1941; Zbl 0024.15504)] mitgeteilt.
Die einzelnen Kapitel sind unabhängig voneinander lesbar, insbesondere ist zum Verständnis von Kap. 3 und 4 höchstens Kap. 1 als Einführung ganz zweckmäßig, während Kap. 2 hierzu ganz überschlagen werden kann. Es ist offensichtlich, daß Verf. die Absicht hatte, die beiden fruchtbarsten Methoden zur Gewinnung von Transzendenzresultaten, so wie sie bis 1948 bekannt waren, auszuführen, und es ist zu erwarten, daß die klare und gut geordnete Darstellung dem bisher wenig bekannten Gebiet zu einem größeren Interessentenkreis verhelfen wird.

MSC:
11J81 Transcendence (general theory)
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
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