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Noch eine Begründung der Theorie der höheren Differentialquotienten in einem algebraischen Funktionenkörper einer Unbestimmten. (German) Zbl 0017.10101
\(K = k(x, y)\) sei ein algebraischer Funktionenkörper einer Unbestimmten \(x\) über dem Konstantenkörper \(k\), \(f(x, y) = 0\). \(\text K = k(\xi,\eta)\), \(f(\xi,\eta) = 0\) sei zu \(K\) über \(k\) isomorph und \(\mathfrak K = \text K K/K\) durch Erweiterung von \(k\) zu \(K\) aus \(\text K\) entstanden. Es gibt genau einen Primdivisor (ersten Grades) \(\mathfrak P\) von \(\mathfrak K/K\) mit \(\eta\equiv y\bmod \mathfrak P\) für alle Paare \(\eta,y\) einander entsprechender Elemente von \(\text K\) und \(K\); für separierendes \(x\) ist \(\xi - x\) genau durch die erste Potenz von \(\mathfrak P\) teilbar.
\(x\) sei separierend. Für ein beliebiges \(y\) aus \(K\) werden die höheren Ableitungen \(\frac{d^ky}{dx^k}\) (genauer die Analoga von \(\frac 1{k!} \frac{d^ky}{dx^k}\right)\) folgendermaßen erklärt: Dem \(y\) entspreche in \(\text K\) das Element \(\eta\), und dessen \(\mathfrak P\)-adische Entwicklung mit Koeffizienten aus \(K\) sei \(\eta=\sum_{k=0}^\infty y_k(\xi - x)^k\). Dann ist \(\frac{d^ky}{dx^k}= y_k\). Aus dieser Definition ergeben sich sofort die Summenregel, die Produktregel, die Regel \(\frac {d_k (\text{konst.}\, y)}{dx^k} = \text{konst.}\frac{d^ky}{dx^k}\) und daraus die sonst als Definition gebrauchte Formel
\[ \frac{dy}{dx}=-f_x(x,y)/f_y(x,y), \] ferner die Kettenregel.
Um den Zusammenhang mit der lokalen Differentiationstheorie [H. Hasse, J. Reine Angew. Math. 176, 174–183 (1936; Zbl 0016.05204), H. Hasse, ibid. 175, 50–54 (1936; Zbl 0013.34103)] herzustellen wird gezeigt:
Hat der Primdivisor \(\mathfrak p\) von \(K/k\) einen über \(k\) separablen Restklassenkörper \(k_{\mathfrak p}\), und ist \(p\) ein Primelement zu \(\mathfrak p\), so liefert die \(\mathfrak p\)-adische Entwicklung \(y=\sum_{\mu_0}^\infty a_\mu p^\mu\), \(a_\mu\) aus \(k_{\mathfrak p}\) von \(y\) aus \(K\) durch gliedweises Differenzieren die \(\mathfrak p\)-adische Entwicklung \[ \frac{d^ky}{dx^k}=\sum_{\mu_0}^\infty\binom{p}{k} a_p p^{p-k}. \]
\(\mathfrak M\) sei ein k-Modul endlichen Ranges \(n\) in \(K\), \(x\) ein separierendes Element von \(K\). Ist \(y_0, \ldots, y_{n-1}\) eine Basis von \(\mathfrak M/k\), so hängt der Hauptdivisor \(\mathfrak d_x(\mathfrak M) \approx\left| \frac{d^ky}{dx^k}\right|\), \(i, k= 0, 1,\ldots, n-1\), nicht von der Basiswahl ab und es gilt für ein anderes separierendes Element \(t\) die Umrechnungformel
\[ \mathfrak d_t(\mathfrak M)\approx \mathfrak d_x(\mathfrak M)\left(\frac{dx}{dt}\right)^{1+2\ldots+(n-1)}, \] so daß der Divisor \(\mathfrak d(\mathfrak M)\approx \mathfrak d_x (\mathfrak M)(dx)^{1+2\ldots+(n-1)}\), von \(x\) unabhängig allein durch \(\mathfrak M\) bestimmt ist.
Ist \(\mathfrak p\) ein Primdivisor ersten Grades von \(K/k\) und \(y_i = p^{\rho_i}+ \ldots\) (\(\mathfrak p\)-adisch), \(\rho_0< \rho_1 <\ldots < \rho_{n-1}\), eine für \(\mathfrak p\) normierte Basis von \(\mathfrak M/k\), so ist
\[ \left| \frac{d^ky_i}{dx^k}\right|=\left|\binom {\rho_i}{k}\right| p^{\sum\rho_i-\sum k}+\ldots, \] so daß \(\mathfrak d(\mathfrak M)\) genau durch die Potenz \(\mathfrak p^{\sum_{i=0}^{n-1}(\rho_i-i)}\) von \(\mathfrak p\) teilbar ist, wenn die Charakteristik von \(k\) in der Determinante \(\left|\binom {\rho_i}{k}\right|\) nicht aufgeht.
In einem Nachtrag gibt F. K. Schmidt eine allgemeine Differentiationstheorie. \(I\) sei ein Integritätsbereich. Ist jedem \(y\in I\) eine Folge \(y^{(0)}= y, y', y'', \ldots\) von Elementen eines Erweiterungsintegritätsbereiches \(I^*\) zugeordnet mit \((y+z)^{(\nu)}= y^{(\nu)}+ z^{(\nu)}\) und \((yz)^{(\nu)}=\sum_{\mu=0}^\nu y^{(\nu-\mu)}z^{(\nu)}\), so heißt diese Zuordnung eine Differentiation von \(I\). \(c\in I\) heißt absolute Differentiationskonstante, wenn \(c'= c''=\ldots = 0\) ist. Ist \(c' =c''= \ldots= c^{(\rho - 1)} = 0\), aber \(c^{(\rho)}\neq 0\), so heißt \(c\) eine Differentiationskonstante \(\rho\)-ter Ordnung. Ist \(I^* = I\) und gilt \(\binom{\nu}{\mu}y^{(\nu)}= (y^{(\mu)})^{(\nu-\mu)}\), so heißt die Differentiation iterativ. Als Ordnungen von Differentiationskonstanten können in diesem Falle nur Potenzen der Charakteristik \(p\) auftreten. Falls nicht alle Ableitungen \(y^{(\nu)}\) aller \(y\) gleich 0 sind, so kann durch eine Umbenennung erreicht werden, daß es ein \(y\) mit \(y'\neq 0\) gibt, was immer vorausgesetzt sei. \(T^*= I^*\{u\}\) sei der Integritätsbereich aller Potenzreihen der Unbestimmten \(u\) über \(I^*\). \(y\leftrightarrow Y= y + y'u + y''u^2 +\ldots\) ist eine Isomorphie zwischen \(I\) und einem \(T\subseteq T^*\). Umgekehrt liefert jede solche Isomorphie eine Diff.; die Theorie der Diff. ist also mit der Theorie solcher Isomorphien gleichwertig. Die Taylorentwicklungen \(Y = y + y'u + y''u^2 +\ldots\) gestatten die Diff. \(D_\mu Y=\sum_{\nu=\mu}^\infty \binom{\nu}{\mu} y^{(\mu)}u^{(\nu-\mu)}\). Genau dann ist die gegebene Diff. iterativ, wenn ihre isomorphe Übertragung \(Y \rightarrow Y, Y', Y'',\ldots\) auf \(T\), mit dieser Diff. übereinstimmt. Von einer Diff. \(y\rightarrow y, y', y'', \ldots\) wird gesagt, sie gehe aus der Diff. \(y\rightarrow y, \dot y, \ddot y,\ldots\) mittels \(x\) nach der Kettenregel hervor, wenn die Taylorreihe \(y+ y'u + y''u^2 +\ldots\) aus der Taylorreihe \(y + \dot yv + \ddot yv^2 + \ldots\) durch Einsetzen von \(v = x'u + x''u^2 +\ldots\) hervorgeht. Wenn \(x'\neq 0\) ist, so hat \(I\) genau eine Diff. \(y\rightarrow y, \dot y, \ddot y, \ldots\), aus der die Diff. \(y\rightarrow y, y', y", \ldots\) mittels \(x\) nach der Kettenregel hervorgeht, und es ist \(\dot x = 1\), \ddot x = x^(3)= \ldots = 0\(. Eine Diff. von \)I\( kann auf genau eine Weise auf den Quotientenk\"orper \)K\( von \)I\( und auf eine separable algebraische Erweiterung von \)K\( ausgedehnt werden. Das gleiche gilt f\"ur eine rein transzendente Erweiterung \)K(x)\(, wenn die Ableitungen von \)x\( beliebig vorgeschrieben werden. Iterativit\"at bleibt in den beiden ersten F\"allen stets erhalten, im dritten dann, wenn die Ableitungen von \)x\( iterativ sind. Es sei jetzt \)I = K\( ein separabel erzeugbarer algebraischer Funktionenk\"orper einer Unbestimmten \"uber dem Konstantenk\"orper \)k\(. Alle Diff. von \)K/k\(, das sind die, f\"ur die alle \)c\in k\( absolute Diff.-Konstanten sind, werden angegeben. Ist \)x\( separierend, so gibt es genau eine mit \)D_x\( zu bezeichnende Diff. mit \)D_x x = 1\(, \)D_x^\nu x= 0\(, \)\nu > 1\(. Der \"Ubergang zur lokalen Diff. erfolgt ohne jede Rechnung so: \)K\( sei isomorph dem Teilk\"orper \)\overlineK\( des Potenzreihenk\"orpers \)‾kx\(, \)‾k\( von endlichem Grad \"uber \)k\(, und zwar sei f\"ur \)y=\sum_\mu=1^n c_\mu x^\mu\( auch \)‾y =\sum_\mu=0^n c_\mu x^\mu\(. F\"ur \)y\in K\(, \)‾y=\sum_\mu=\mu_0^\infty c_\mu x^\mu\( gilt dann \)\(\overline{D_x^\nu y}= \sum_{\mu=\mu_0}^\infty \binom{\mu}{\nu}c_\mu x^{\mu-\nu}.\)\( Die iterativen Diff. lassen sich jetzt \"ubersehen: Ist \)p=0\(, so gibt es zu nichtkonstantem \)x\( und beliebigem \)z\( genau eine iterative Diff. von \)K/k\( mit \)x’ = z\(, und das sind alle Diff. von \)K/k\(. Ist \)p\ne 0\(, so gibt es zu jeder iterativen Diff. ein separierendes Element \)t\( mit \)D_t^\nu y = y^(\nu)\(, \)\nu = 1, 2, \ldots, m\( f\"ur alle \)y\( und gegebenes \)m\(, so da{\ss} jede iterative Diff. beliebig genau durch eine Diff. nach einem Element angen\"ahert werdern kann.\)
Reviewer: M. Deuring (Jena)

MSC:
11R58 Arithmetic theory of algebraic function fields
12H05 Differential algebra
14H05 Algebraic functions and function fields in algebraic geometry
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Full Text: Crelle EuDML