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Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale. (German) Zbl 0014.20402
Nachdem in den letzten Jahren schon C. L. Siegel [J. Reine Angew. Math. 167, 62–69 (1932; Zbl 0003.26501)], Th. Schneider (unpubliziert), Th. Schneider [J. Reine Angew. Math. 172, 65–69 (1934; Zbl 0010.10501)], G. Pólya [C. R. Acad. Sci., Paris 201, 444–445 (1935; Zbl 0012.07602)] und J. Popken und K. Mahler [Proc. Akad. Wet. Amsterdam 38, 864–871 (1935; Zbl 0012.34101)] einige Teilresultate über Transzendenz von elliptischen Integralen und Modulfunktionen hergeleitet hatten, bringt die vorliegende Arbeit grundlegende und abschließende Ergebnisse über solche Fragen, die um so bemerkenswerter sind, als sie anscheinend nach einer Bemerkung des Verf. auch noch auf Funktionen höheren Geschlechts übertragen werden können. Der Kürze halber beschränke ich mich auf die überraschendsten und wichtigsten so erhaltenen Sätze:
Satz 1: Gehören die Weierstraßschen Funktionen \(\wp(x)\) und \(\zeta(x)\) zu den Invarianten \(g_2\) und \(g_3\) und hat \(\wp(x)\) bei \(x = \beta\) keinen Pol, ist ferner \(\vert a\vert + \vert n b\vert \ne 0\), so ist mindestens eine der sechs Größen \(g_2\), \(g_3\), \(a\), \(b\), \(\wp(\beta)\), \(a\beta + b\zeta(\beta)\) transzendent.
Hierin ist neben anderen schönen Spezialfällen folgender wichtige Satz enthalten: ,,Der Umfang einer Ellipse mit algebraischen Achsen ist transzendent (Verallgemeinerung der Transzendenz von \(\pi\).”
Satz 2: Die Weierstraßschen Funktionen \(\wp\) und \(\wp^*\) zu den Invarianten \(g_2\), \(g_3\), \(g_2^*\), \(g_3^*\) mögen die Eigenschaft haben, daß \(\wp(x)\) und \(\wp^*(qx)\) algebraisch unabhängig sind und bei \(x = \beta\) keinen Pol besitzen. Dann ist mindestens eine der Zahlen \(g_2\), \(g_3\), \((g_2^*\), \((g_3^*\), \(\wp(\beta)\), \(\wp^*(q\beta)\), \(q\) transzendent.
Hierin liegt das interessante Teilergebnis: ,,Die absolute Invariante \(J(\tau)\) ist für algebraisches \(\tau\) allein dann algebraisch, wenn \(\tau\) imaginär-quadratisch ist.”
Satz 3: \(g_2\) und \(g_3\) seien algebraisch, und es sei \(\wp(\beta)\) endlich. Dann ist eine der drei Zahlen \(\wp(\beta)\), \(q\ne 0\) und \(e^{q\beta}\) transzendent, also speziell, wenn \(\omega\) eine eigentliche Periode von \(\wp(x)\) bezeichnet, der Quotient \(\pi/\omega\) nicht algebraisch.
Die Beweise aller drei Sätze sind einander sehr ähnlich; wie der Verf. begnügen wir uns daher damit, eine Skizze des Beweises nur von Satz 1 zu geben.
Mittels der Differentialgleichung zeigt man zunächst:
Hilfssatz: Es ist \(\frac{d^r \wp(x)}{dx^r}= \wp^{(r)}(x)\) ein Polynomn in \(\wp(x)\), \(\wp'(x)\), \(g_2/2\) und \(g_3\) mit ganzen rationalen Koeffizienten höchstens vom Gesamtgrad \([\frac12 (r+2)]\), und dabei \(\vert \wp^{(r)}(x)\vert \le gamma_1 r^r\), \(\vert \wp^{(r)}\vert < \gamma_2\), wo die natürlichen Zahlen \(\gamma_1\), \(\gamma_2, \ldots\) nicht von \(r\) abhängen.
Seien nun gegen die Behauptung alle Zahlen \(g_2\), \(g_3\), \(a\), \(b\), \(\wp(\beta)\), \(a\beta + b\zeta(\beta)\) und also auch \(\wp'(\beta)\) algebraisch; sie erzeugen dann etwa einen Körper \(\mathfrak K\) vom Grad \(s\), und wir setzen \(k = 24s + 1\). Man kann ganze Zahlen \(C_{\lambda\mu}\) aus \(\mathfrak K\) finden, die nicht alle verschwinden, samt allen Konjugierten absolut höchstens gleich \(\gamma_3 r^{2r}\) sind und für die der Ausdruck \[ L(x) = \sum_{\lambda=0}^{n-1} \sum_{\mu=0}^{n-1} C_{\lambda\mu}\wp(x)^\lambda (ax + b\zeta(x))^\mu \]
an allen Stellen \(\xi_\kappa = \kappa\beta\) \((\kappa = 1, 2, \ldots, k)\) von der Ordnung \(r = [n^2/2k]\) verschwindet; dabei ist noch ohne wesentliche Einschränkung die Annahme zulässig, daß \(\beta\) kein rationaler Teil einer Periode ist.
Durch wiederholte Anwendung einer funktionentheoretisch-arithmetischen Schlußweise des Verf. [J. Reine Angew. Math. 172, 70–74 (1934; Zbl 0010.10601)], die vorher auch schon von A. O. Gel’fond benutzt wurde [C. R. (Dokl.) Acad. Sci. URSS 2, 1–3, 4–6 (1934; Zbl 0009.05302)], kann von hier aus sukzessive hergeleitet werden, daß \(L(x)\) in einer überall dicht liegenden Punktmenge und also identisch verschwindet; das führt dann aber zu dem gesuchten Widerspruch.

MSC:
11J89 Transcendence theory of elliptic and abelian functions
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Full Text: DOI EuDML
References:
[1] Über die Perioden elliptischer Funktionen, Journ. f. Math.167 (1932), S. 62–69. · JFM 58.0395.01
[2] Vorgetragen im mathematischen Kolloquium zu Frankfurt a. M.
[3] Transzendenzuntersuchungen periodischer FunktionenII, Journ. f. Math.172 (1934), S. 70–74.
[4] Sur les séries entières satisfaisant à une équation différentielle algébrique, C. R.201 (1935), p. 444–445. · Zbl 0012.07602
[5] Ein neues Prinzip für Transzendenzbeweise, Proc. Amaterdam38 (1935). S. 864–871. · Zbl 0012.34101
[6] ”Eine Funktion verschwindet an einer Stelle vonr-ter Ordnung” soll heißen: Die betreffende Stelle ist für die Funktion mindestensr-fache Nullstelle.
[7] Siehe z. B. Hilfssatz1 (S. 67) meiner Arbeit: Transzendenzunterauchungen periodischer Funktionen I; Journ. f. Math.172 (1934), S. 65–69.
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