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Beiträge zur Topologie der Deformationen. III: Klassen und Homologietypen von Abbildungen. (German) Zbl 0013.22903
Fortführung der Untersuchungen über die Beziehung zwischen den Homologie- und Homotopieeigenschaften von Räumen und Abbildungen (vgl. Part I [Proc. Akad. Wet. Amsterdam 38, 112–119 (1935; Zbl 0010.37801)] und Part II [ibid. 38, 521–528 (1935; Zbl 0011.37101)]).
\(X\) und \(Y\) seien kompakte Räume, \(\beta_n(X,\mathfrak A)\) und \(\beta_n(Y,\mathfrak A)\) die mit Hilfe einer abelschen Gruppe \(\mathfrak A\) als Koeffizientenbereich gebildeten Homologiegruppen. Jede stetige Abbildung \(f\) von \(X\) in \(Y\) bewirkt dann bekanntlich eine homomorphe Abbildung \(H^n_{f,\mathfrak A}\) der Gruppe \(\beta_n(X,\mathfrak A)\) in die Gruppe \(\beta_n(Y,\mathfrak A)\). Es kann nun sein, daß bei zwei gegebenen Abbildungen \(f\) und \(g\) von \(X\) in \(Y\) die Homomorphismen \(H^n_{f,\mathfrak A}\) und \(H^n_{g,\mathfrak A}\) für jedes \(n\) und für jede abelsche Gruppe \(\mathfrak A\) übereinstimmen. Alsdann werden \(f\) und \(g\) zum gleichen Homologietypus gerechnet. Der Einteilung der Abbildungen nach Homologietypen wird die Brouwersche Einteilung in Klassen einander homotoper Abbildungen gegenübergestellt. Offenbar haben Abbildungen der gleichen Brouwerschen Abbildungsklasse denselben Homologietypus. Die Umkehrung dieses Satzes wurde von H. Hopf für den Fall bewiesen, daß \(X\) ein \(n\)-dimensionaler Komplex, \(Y\) die \(n\)-Sphäre ist.
Dieser Hopfsche Satz wird nun von Verf. auf zwei kompakte Räume \(X\) und \(Y\) mit den folgenden Eigenschaften erweitert: \(X\) ist \(n\)-dimensional \((n\) endlich und \(\geq 2)\); \(Y\) ist lokal zusammenhängend bis zur Ordnung \(n\) (einschließlich) im Lefschetzschen Sinne; die Fundamentalgruppe sowie die Homologiegruppen (mit ganzzahligem Koeffizientenbereich) der Dimensionen \(0\) bis \(n-1\) sind leer.
Weiter werden die Fälle untersucht, in denen \(Y\) überdies torsionsfrei in der Dimension \(n\) bzw. die \(n\)-Sphäre ist. Die Arbeit schließt mit einer Betrachtung über den Homotopietypus zweier kompakter Räume \(X\) und \(Y\). \(X\) und \(Y\) werden zum gleichen Homotopietypus gerechnet, wenn es eine stetige Abbildung \(f\) von \(X\) in \(Y\) und eine stetige Abbildung \(\varphi\) von \(Y\) in \(X\) gibt, so daß \(\varphi f\) und \(f\)\varphi\( den identischen Abbildungen homotop sind.\)

MSC:
55-XX Algebraic topology
57-XX Manifolds and cell complexes
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