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Über \({\mathfrak p}\)-adische Schiefkörper und ihre Bedeutung für die Arithmetik hyperkomplexer Zahlsysteme. (German) Zbl 0001.19805

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Full Text: DOI EuDML
References:
[1] J. H. Maclagan Wedderburn, On hypercomplex numbers, Proc. London Mathem. Soc.6 (1907). ? Siehe auch L. E. Dickson, Algebren und ihre Zahlentheorie (Zürich-Leipzig 1927). ? Das Dicksonsche Buch wird im folgenden zitiert mit D.
[2] A. Speiser, Allgemeine Zahlentheorie, Vierteljahresschrift d. Naturf. Ges. Zürich71 (1926). ? Siehe auch das von Speiser verfaßte letzte Kapitel in D.
[3] E. Artin, Zur Arithmetik hyperkomplexer Zahlen, Abh. Mathem. Sem. Hamburg5 (1927). ? Im folgenden zitiert mit A. · JFM 53.0115.01
[4] E. Artin, Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen, Abh. Mathem. Sem. Hamburg5 (1927). · JFM 53.0114.03
[5] E. Noether, Hyperkomplexe Größen und Darstellungstheorie, Math. Zeitschr.30 (1929).
[6] Die Durchführung dieses Gedankens bezeichnete mir Herr R. König von einer anderen Seite her als wünschenswert und gab so den unmittelbaren Anstoß zur Abfassung dieser Arbeit.
[7] H. Brandt, Zur Idealtheorie Dedekindscher Algebren, Comment. Mathem. Helvetici2 (1930). ? Teilaussagen dieses Zerlegungsgesetzes siehe auch schon bei A. §4. · JFM 56.0144.03
[8] K. Hensel, Eine neue Theorie der algebraischen Zahlen, Math. Zeitschr.2 (1918). ? Ich brauche im folgenden die Kenntnis der in dieser Arbeit entwickelten Theorie der p-adischen algebraischen Zahlkörper nicht vorauszusetzen. Vielmehr schließen meine Entwicklungen diese Theorie ein, wenn man speziell als GrundkörperK denp-adischen Zahlkörper und als SchiefkörperS den zu studierenden p-adischen algebraischen Zahlkörper nimmt. Wer auch diese Theorie aus der vorliegenden Arbeit lernen will, muß nur die Paragraphen 2, 3 zweimal lesen und dabei einmal den eben genannten Spezialfall im Auge haben, das zweite Mal dann den allgemeinen Fall, wo ein beliebiger p-adischer algebraischer Zahlkörper Grundkörper ist und somit die bei der ersten Lektüre gewonnenen Erkenntnisse den Ausgang bilden.
[9] Die Entwicklungen dieses Paragraphen und des ersten Teils des folgenden Paragraphen sind weitgehend parallel, ja fallen teilweise zusammen mit denen der in Fußnote 8)K. Hensel, Eine neue Theorie der algebraischen Zahlen, Math. Zeitschr.2 (1918). zitierten Henselschen Arbeit. Der Vollständigkeit halber führe ich aber hier alle Beweise noch einmal aus.
[10] UnterNorm undSpur einesElements ? (Bezeichnungn(?) unds(?)) verstehe ich in dieser Arbeit stets die aus der Hauptgleichung von ? definierte Norm und Spur.
[11] Dieses Postulat muß hier zu denen in A. § 1 hinzugenommen werden; es folgt hier nicht, wie in A. § 1, für Maximalordnungen aus den übrigen Postulaten, weil hier der Koeffizientenkörper nicht der rationale Zahlkörper ist.
[12] J. H. Maclagan Wedderburn, A theorem on finite algebras, Trans. Amer. Mathem. Soc.6 (1905). ? Siehe auch D. § 127 und E. Artin, Über einen Satz von Herrn J. H. Maclagan Wedderburn, Abh. Mathem. Sem. Hamburg5 (1927). · JFM 36.0139.01
[13] Hier wird die Voraussetzung, daßS kommutativ sei, wesentlich benutzt. Denn wie man leicht einsieht, verliert der Hilfssatz aus § 2 in nichtkommutativen ?-adischen Schiefkörpern seine allgemeine Gültigkeit.
[14] Siehe hierzu K. Hensel, Über ein neues Normenrestsymbol und seine Anwendung auf die Theorie der Normenreste in allgemeinen algebraischen Körpern, Journ. f. Mathem.152 (1923), Satz C?. · JFM 49.0115.01
[15] Siehe Satz 1 der in Fußnote 12)J. H. Maclagan Wedderburn, A theorem on finite algebras, Trans. Amer. Mathem. Soc.6 (1905). zitierten Artinschen Arbeit.
[16] Mit einer solchen Matrizendarstellung arbietet auch Dickson (D. § 41) bei der Konstruktion von Schiefkörpern vom ?Typus D?.
[17] R. Brauer und E. Noether, Über minimale Zerfällungskörper irreduzibler Darstellungen, Berliner Akad.-Ber. 1927. ? Siehe dazu auch die in Fußnote 5) zitierte Arbeit von E. Noether, sowie R. Brauer, Über Systeme hyperkomplexer Zahlen, Math. Zeitschr.30 (1929). · JFM 53.0116.01
[18] Siehe Satz 11 der in Fußnote 4) E. Artin, Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen, Abh. Mathem. Sem. Hamburg5 (1927) zitierten Artinschen Arbeit.
[19] H. Brandt, Idaltheorie in einer Dedekindschen Algebra, Vortrag auf der Kissinger Tagung der D. M.-V. 1927, Jahresber. d. D. M.-V.37 (1928).
[20] Anmerkung bei der Korrektur. Wie mir Herr brandt mitteilt, gebraucht er die Bezeichnung ?primitiv? (in Anlehnung an die geläufige Bedeutung dieses Begriffes in der Formetheorie und Substitutionstheorie) in etwas anderer Bedeutung, nämlich ?ohne ganze Zentrumsideale als Teiler?.
[21] DieNorm einesIdeals a (BezeichnungN(?)) verstehe ich hier im selben Sinne, wie in A. § 2, also aus der o-Basisdarstellung definiert. Diese Idealnorm korrespondiert mit der aus der charakteristischen gleichung definierten ElementnormN(?). Eine mit der Normn(?) aus der Hauptgleichung korrespondierende Idealnorm ist bisher nirgends eingeführt worden. Wie mir Herr Brandt mitteilte, kann er eine sinngemäße Definition diesern(?) geben.
[22] Weil nicht notwendig eine o-Basis von a und von a vorhanden ist, ist man auf diese Definition vonN(?) angewiesen.
[23] H. Prüfer, Neue Begründung der algebraischen, Zahlentheorie, Math. Annalen94 (1925).?J. v. Neumann, Zur Prüferschen Theorie der idealen Zahlen, Acta litt. ac scient. Szeged 2 (1926).
[24] Dieser Satz wurde zuerst von Herrn Brandt, in der in Fußnote 7) H. Brandt, Zu Idealtheorie Dedekindscher Algebren, Comment. Mathem. Helvetici2 (1930). zitierten Arbeit, bewiesen.
[25] Die folgenden Sätze haben wieder die Brandtsche Theorie der einseitigen Ideale zum Vorbild. Vgl. Frßnote 20)H. Brandt, Idealtheorie in einer Dedekindschen Algebra Vortrag auf der Kissinger Tagung der D. M.-V. 1927, Jahresber. d. D. M.-V.37 (1928).
[26] In A. § 3 findet sich dieses Gesetz nur für den Spezialfall eines gleichseitigen und eines beliebigen Idealfaktors.?Wie mir Herr Brandt mitteilt, hat jedoch Herr Artin in einer Hamburger Vorlesung, sowie er selbst in einem Hamburger Vortrag, auch schon den Beweis im allgemeinen Falle geführt.
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