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Spektraldarstellung linearer Transformationen des Hilbertschen Raumes. (German) JFM 68.0241.01
Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 5, No. 5. Berlin: Springer. 80 S. (1942).
In der Begründung der Spektralzerlegung sind in der letzten Zeit so wesentliche Vereinfachungen erzielt worden, daß eine zusammenfassende Darstellung dieses Gebietes sehr erwünscht war. Verf. hat diese Aufgabe in vorbildlicher Weise gelöst. Zu allen Hauptsätzen werden lückenlose Beweise gebracht, überall die neuesten Ergebnisse benützt und an vielen Stellen durch eigene Überlegungen der Weg zu den Hauptsätzen weiter verkürzt. Im Einzelnen enthält das Buch folgende Dinge. Kap. I bringt die Grundbegriffe, die Axiomatik des Hilbertschen Raumes wobei keine Dimensionsvoraussetzung gemacht wird (es handelt sich also um sogenannte verallgemeinerte Hilbertsche Räume). Auch alle Sätze der Spektraltheorie werden für diesen allgemeinen Fall bewiesen. Ferner enthält Kap. I einfache Tatsachen über konvexe Mengen, Teilräume, Linearfunktionen, schwache Konvergenz, beschränkte Transformationen und die verschiedenen Arten von Konvergenz von Folgen von Transformationen. Kap. II bringt Sätze über selbstadjungierte beschränkte Transformationen, nach F. Riesz den Beweis des Satzes, daß das Produkt zweier miteinander vertauschbarer positiver selbstadjungierter Transformationen wieder positiv ist, und die Existenz der positiven Quadratwurzel einer positiven selbstadjungierten Transformation (Existenz nach Visser, Eindeutigkeit nach v. Sz. Nagy). Es schließen sich Sätze über Projektionen und einfachste Tatsachen über normale und unitäre Transformationen an. Kap. III bringt die technischen Vorbereitungen für die Spektralzerlegung, Spektralscharen (auch mehrparametrige), die Erklärung von \(\int\limits_{-\infty}^\infty F(\lambda)\, d\lambda\) für Treppenfunktionen \(F(\lambda)\) und anschließend für beschränkte Bairesche Funktionen. Kap. IV bringt zuerst die Existenz und Eindeutigkeit der Spektralzerlegung für beschränkte selbstadjungierte Transformationen (mit Hilfe des Quadratwurzelsatzes), dann für normale und unitäre Transformationen. In Kap. V werden zuerst nichtbeschränkte Transformationen \(T\) studiert, \(T^*\), \(T^{-1}\) mit Hilfe des Graphen von \(T\) untersucht und der wichtige Satz, daß \((I + T^* T)^{-1} = B\) beschränkt, positiv selbstadjungiert und vom Betrage \(\leqq 1\) ist, abgeleitet. Schließlich werden die Vertauschbarkeit und die Begriffe selbstadjungierte und normale Transformation erklärt. Kap. VI ist dem Studium der symmetrischen Transformationen gewidmet, es wird die v. Neumannsche Fortsetzungstheorie gebracht, die mit Hilfe der Cayleyschen Transformierten und der Defektindizes alle Fortsetzungen zu maximalen symmetrischen Transformationen liefert. Schließlich wird eine Konstruktion aller maximalen symmetrischen Transformationen angegeben. Kap. VII bringt Integrale allgemeiner, nicht mehr beschränkter Funktionen in bezug auf eine Spektralschar und untersucht die dadurch erklärten nichtbeschränkten Transformationen, Kap. VIII bringt zuerst einen auf dem Satz über \((I + T^* T)^{-1}\) beruhenden Beweis der Spektralzerlegung beliebiger normaler Transformationen, dann den ursprünglichen v. Neumannschen für selbstadjungierte, der die Cayleysche Transformation benützt, dann den Friedrichsschen für halbbeschränkte selbstadjungierte Transformationen. Es schließen sich die Existenz der Quadratwurzel aus einer beliebigen positiven selbstadjungierten Transformation und der Satz an, daß jede lineare abgeschlossene, dicht definierte Transformation \(T\) auf genau eine Weise in der Form \(T = VA\), \(A\) positiv selbstadjungiert, \(V\) isometrisch, dargestellt werden kann. Kap. IX bringt das Spektrum, Punktspektrum, kontinuierliches Spektrum, Resolventenmenge, die Einordnung der klassischen Ergebnisse über vollstetige Transformationen, ferner die Rellichschen Sätze über das Verhalten der Spektralschar beim Grenzübergang und die Störungsrechnung. Das Problem der unitären Äquivalenz (Hellinger, Stone, Wecken, Nakano) wird nur erwähnt. Kap. X studiert Funktionen von Transformationen, bringt Bedingungen dafür, daß eine lineare Transformation Funktion eines Abelschen Systems von normalen Transformationen ist, und beweist die simultane Spektralzerlegung eines Abelschen Systems von normalen Transformationen. Kap. XI. bringt die Sätze über die Spektraldarstellung von Gruppen und Halbgruppen unitärer, selbstadjungierter und normaler Transformationen von Stone, v. Sz. Nagy u. a.