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On a problem of Sidon in additive number theory and on some related problems. (English) JFM 67.0984.03
Bei der Untersuchung von Fourierreihen sind bei S. Sidon (Math. Ann., Berlin, 106 (1932), 536-539; F. d. M. 58\(_{\text{I}}\), 268) Folgen natürlicher Zahlen \(a_1<a_2<\cdots\) aufgetreten, für die die Summen \(a_i+a_j\) (\(i\leq j\)) sämtlich verschieden sind. Verf. beweist, daß für die Maximalzahl \(\varPhi(n)\) von Gliedern der Folge unterhalb \(n\) gilt \[ 2^{-\frac12}\leqq\varliminf n^{-\frac12}\varPhi(n)\leqq \varlimsup n^{-\frac12}\varPhi(n)\leqq 1. \] Der Beweis der linken Seite geschieht durch Benutzung von \(n=2p^2\), \(p\) Primzahl, der rechten Seite durch Betrachtung der Paare der Folge in den Intervallen \[ (-m+j,j)\text{ für }j=1,\dots,n+m, m=[n^{\frac34}]. \]
Schließlich wird mit Hilfe des Fabryschen Lückensatzes bewiesen, daß die Anzahl der Darstellungen von \(n\) als Summe zweier natürlicher Zahlen nicht konstant sein kann für \(n\geqq n_0\).

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